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Originalprüfung 2015 Analysis TeilA AG2


Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion \(g:x \mapsto \mathrm{ln}\ (2x+3)\) mit maximaler Definitionsmenge \(D\) und der Wertemenge \(W\). Der Graph von \(g\) wird mit \(G_g\) bezeichnet.

a) Geben Sie \(D\) und \(W\) an

b) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an \(G_g\) im Schnittpunkt von \(G_g\) mit der \(x\)-Achse

Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=x^3-6x^2+11x-6\) und \(x \in \mathbb R\)

a) Weisen Sie nach, dass der Wendepunkt des Graphen von \(f\) auf der Geraden mit der Gleichung \(y=x-2\) liegt.

b) Der Graph von \(f\) wird verschoben. Der Punkt \((2\mid 0)\) des Graphen der Funktion \(f\) besitzt nach der Verschiebung die Koordinaten \((3\mid 2)\). Der verschobene Graph gehört  zu einer Funktion \(h\). Geben Sie eine Gleichung von \(h\) an.

Aufgabe 3

Geben Sie jeweils den Term einer Funktion an, die die angegebene(n) Eigenschaft(en) besitzt.

a) Die Funktion \(g\) hat die maximale Definitionsmenge \(]-\infty;5[\).

b) Die Funktion \(k \) hat in \(x=2\) eine NUllstelle und in \(x=-3\)  eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Der Graph von \(k\) hat die Gerade mit der Gleichung \(y=1\) als Asymptote.

Aufgabe 4

Gegeben ist die Schar der in \(\mathbb{R}\) definierten Funktionen \(f_a:x\mapsto xe^{ax}\) mit \(a \in \mathbb{R}\backslash \{0\}\). Ermitteln Sie, für welchen Wert von \(a\) die erste Ableitung von \(f_a\) an der Stelle \(x=2\) den Wert \(0\) besitzt.

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