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Originalprüfung 2015 Analysis TeilA AG1


Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion \(f:x \mapsto (x^3-8) \cdot (2+\text{ln}\ x)\) mit maximalen Definitionsbereich \(D\).

a) Geben Sie \(D\) an. 

b) Bestimmen Sie die Nullstellen von \(f\) 

Aufgabe 2

Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f,\ g\) und  \(h\) mit \(f(x)= x^2-x+1,\ g(x)=x^3-x+1\) und \(h(x)=x^4+x^2+1\).

Aufgabe 2 Abbildung 1 - Abbildung 1

a) Abbildung 1 zeigt den Graphen einer der drei Funktionen. Geben sie an, um welche Funktion es sich handelt. Begründen Sie, dass der Graph die anderen beiden Funktionen nicht darstellt.

b) Die erste Ableitungsfunktion von \(h\) ist \(h'\).

Bestimmen die den Wert von \(\int_0^1 {h'(x) \ \mathrm{d}x}\)

 

 

Aufgabe 3

a) Geben Sie einen positiven Wert für den Parameter \(a\) an, sodass die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion \(f:x\mapsto \mathrm {sin}(ax)\) eine Nullstelle in \(x= \frac\pi 6\) hat.

b) Ermitteln Sie den Wert des Parameters \(b\), sodass die Funktion \(g:x\mapsto \sqrt{x^2-b}\) den maximalen Definitionsbereich \(\mathbb{R} \backslash \left]-2;2\right[\) besitzt.

c) Erläutern Sie, dass die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(h: x \mapsto 4-e^x\) den Wertebereich \(] - \infty;4[\) besitzt.

Aufgabe 4

Abbildung 2 zeigt den Graphen einer in \(\mathbb{R}\) definierten differenzierbaren Funktion \(g:x\mapsto g(x)\). Mithilfe des Newton-Verfahrens soll ein Näherungswert für die Nullstelle \(a\) von \(g\) ermittelt werden. Begründen Sie, dass weder die \(x\)- Koordinate des Hochpunkts \(\mathrm H\) noch die \(x\)- Koordinate des Tiefpunkts \(\mathrm T\) als Startwert des Newton-Verfahrens gewählt werden kann.

Originalprüfung 2015 Analysis TeilA AG1 - Abbildung 2

 

 

Aufgabe 5

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=x^3-6x^2+11x-6\) und \(x \in \mathbb R\).

a) Weisen Sie nach, dass der Wendepunkt des Graphen von \(f\) auf der Geraden mit der Gleichung \(y=x-2\) liegt.

b) Der Graph von \(f\) wird verschoben. Der Punkt \((2\mid0)\) des Graphen der Funktion \(f\)besitzt nach der Verschiebung die Koordinaten \((3\mid2)\). Der verschobene Graph gehört zu einer Funktion \(h\). Geben Sie eine Gleichung von \(h\) an.

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