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Originalprüfung 2015 Analysis GK HT1


Aufgabe a)

Ein Schüler beobachtet in einem Experiment insgesamt sechs Tage lang die Vermehrung von Pantoffeltierchen in einer Nährlösung. Zur Modellierung der Anzahl der Pantoffeltierchen während der ersten drei Tage verwendet er für \(0\leq t\leq 3\) die Funktion \(N_1\) mit der Gleichung \(N_1(t)=500\cdot e^{0,6\ \cdot\ t},\ t \in \mathbb R\). Dabei wird \(t\) als Maßzahl zur Einheit 1 Tag und \(N_1(t)\) als Anzahl der Pantoffeltierchen zum Zeitpunkt \(t\) aufgefasst. Der Graph von \(N_1\)  ist in der Abbildung dargestellt.

(1)

Berechnen Sie den Funktionswert von \(N_1\) an der Stelle \(t=3 \) und interpretieren Sie diesen Wert im Sachzusammenhang.

(2) 

Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem \(2000\) Pantoffeltierchen in der Nährlösung vorhanden sind.

Originalprüfung 2015 Analysis GK HT1 - Abbildung 1

(3) 

Berechnen Sie, um wie viele Tiere pro Tag die Anzahl der Pantoffeltierchen in der Nährlösung während der ersten drei Tage durchschnittlich wächst.

(4) 

Begründen Sie, warum eine Funktion mit dem Funktionsterm nur für einen begrenzten Zeitraum zur Modellierung der Anzahl der Pantoffeltierchen geeignet ist.

(3 + 4 + 3 + 4 Punkte)

  • Punkte:  13

Aufgabe b)

Während der ersten drei Tage (für \(0\leq t \leq 3\)) wird im Modell des Schülers die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen durch die Funktion \(r_1\) mit der Gleichung \(r_1(t)=300\cdot e^{0,64\ \cdot\ t},\ t\in \mathbb R\) beschrieben. Dabei wird \(r_1(t)\) als Maßzahl zur Einheit \(1\) Tier pro Tag aufgefasst.

Für die Funktion \(r_1\) und die zugehörige Ableitungsfunktion \(r'_1\) gilt für alle \(t\in\mathbb R\) die Aussage: \(r_1(t)>0\) und \(r'_1(t)>0\).
[Die Gültigkeit dieser Aussage müssen Sie nicht nachweisen.]
Interpretieren Sie die Bedeutung dieser Aussage im Sachzusammenhang.

Aufgabe c)

Bei der weiteren Beobachtung erkennt der Schüler, dass nach etwa drei Tagen die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen geringer wird. Zur Modellierung der momentanen Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen nach dem dritten Tag bis zum Ende der Beobachtung (also für \(3\leq t\leq6\)) verwendet der Schüler die Funktion \(r_2\) mit der Gleichung \(r_2(t)=300\cdot e^{3,6\ -\ 0,6\ \cdot\ t},\ t\in \mathbb R\). Dabei wird \(r_2(t)\) als Maßzahl zur Einheit \(1\) Tier pro Tag aufgefasst.

(1) 

Zeigen Sie, dass für die Funktionen \(r_1\) und \(r_2\) für alle \(a\in\mathbb R\) die Gleichung \(r_2(3+a)=r_1(3-a)\) gilt.

(2) 

Interpretieren Sie die Bedeutung der Gleichung \(r_2(3+a)=r_1(3-a)\) für \(0 \leq a \leq 3\) im Sachzusammenhang.

(3) 

Zeigen Sie, dass die Funktion \(F\) mit der Gleichung \(F(x)=-\frac 5 3\cdot e^{3,6\ -\ 0,6\ \cdot\ x}\) eine Stammfunktion der Funktion \(f\) mit \(f(x)=e^{3,6\ -\ 0,6\ \cdot\ x}\) ist.

(4) 

Bestimmen Sie, wie viele Pantoffeltierchen in der Nährlösung im Laufe des vierten Tages (d. h. im Intervall \([3;4]\)) hinzukommen, wenn die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen für \(3\leq t\leq6\) durch die Funktion \(r_2\) beschrieben wird.

(5) 

Ermitteln Sie ausgehend von den Funktionen \(N_1 \) und \(r_2\) eine Gleichung der Funktion \(N_2\), durch die die Anzahl der Pantoffeltierchen nach dem dritten Tag bis zum Ende der Beobachtung beschrieben werden kann.
[Zur Kontrolle: \(N_2(t)=1000\cdot e^{1,8}-500\cdot e^{3,6\ -\ 0,6\ \cdot\ t}\)]

(6) 

Der Schüler verwendet die Funktion \(N_2\) auch zur Modellierung der Anzahl der Pantoffeltierchen für  \(6 ≥ t\). Begründen Sie, dass in diesem Modell die Anzahl der Pantoffeltierchen in der Nährlösung zu keinem Zeitpunkt größer als \(6050\) wird.

(5 + 4 + 4 + 6 + 7 + 4 Punkte)

  • Punkte:  30
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