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Aufgabe 1
Eine Isolierkanne besteht aus einer Kunststoffhülle sowie einem Glaseinsatz und soll modellmäßig beschrieben werden. Die Kanne wird entsprechend der Abbildung 1 der Anlage im Koordinatensystem liegend betrachtet. Außen wird der obere Rand der Hülle für \(-11\leq x \leq 11\) beschrieben durch eine Funktion \(f(x)=\frac 1 {512}\cdot x^3-\frac 3 8 \cdot x +6\); \(x\) und \(f(x)\) in Zentimetern.
a) Die parallel zur y-Achse gemessene Wandstärke der Hülle beträgt \(2\ \text{mm}\). Begründen Sie, dass der obere Rand der Hülle für \(-11\leq x \leq 11\) durch eine Funktion mit \(g(x)=\frac 1 {512}\cdot x^3-\frac 3 8 \cdot x +5,8\) beschrieben wird; \(x\) und \(g(x)\) in Zentimetern.
Bestimmen Sie den Innendurchmesser der Hülle am Boden und den maximalen Innendurchmesser der Hülle.
Die Hülle erhält einen zylinderförmigen Einsatz aus Glas wie in der Abbildung 1 dargestellt. Seine Wandstärke beträgt \(3\ \text{mm}\). Der Einsatz reicht vom Boden bis \(1\ \text{cm}\) unterhalb der Öffnung. Berechnen Sie das maximale Füllvolumen des Einsatzes in \(\text{Litern}\). Berechnen Sie die Höhe, bis zu der der Einsatz gefüllt werden muss, damit er \(0,75\ \text{Liter}\) Flüssigkeit enthält.
(16 BE)
b) An der Hülle wird ein Griff angebracht. Der Rand des Griffs wird für \(-8\leq x \leq 8\) beschrieben durch eine Funktion \(h\) mit \(h(x)=-\frac 3 {64}\cdot x^2-\frac 1 4\cdot x+9\); \(x\) und \(h(x)\) in Zentimetern.
Zeigen Sie, dass der Übergang zwischen Modellierung von Griff und Hülle an der Stelle \(x=-8\) zwar sprungfrei, aber nicht knickfrei ist. Der obere Rand der Hülle hat im Punkt \(B(8|4)\) eine waagerechte Tangente. Bestimmen Sie die Größe des Winkels \(\alpha\), unter dem der Griff am Punkt \(B\) auf den oberen Rand der Hülle trifft.
Zeigen Sie:
- Der parallel zur y-Achse gemessene Abstand zwischen Griff und oberem Rand der Hülle ist stets kleiner als \(3,5\ \text{cm}\).
- Der Flächeninhalt des Querschnitts zwischen Griff und Hülle beträgt mindestens \(30\ \text{cm}^2\).
(14 BE)
c) Unabhängig vom Sachzusammenhang wird eine ganzrationale Funktion \(p\) dritten Grades betrachtet. In der Abbildung 2 der Anlage ist der Graph der zugehörigen Ableitungsfunktion \(p'\) dargestellt. Begründen Sie mithilfe der Abbildung 2, dass die Funktion \(p\) zwar eine Wendestelle, aber keine Extrema besitzt.
(4 BE)
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Mathematik
Abitur