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Originalprüfung 2015 Analysis GA


Aufgabe 1A

Eine Isolierkanne besteht aus einer Kunststoffhülle sowie einem Glaseinsatz und soll modellmäßig beschrieben werden. Die Kanne wird entsprechend der Abbildung 1 der Anlage im Koordinatensystem liegend betrachtet. Außen wird der obere Rand der Hülle für \(-11\leq x \leq 11\) beschrieben durch eine Funktion \(f(x)=\frac 1 {512}\cdot x^3-\frac 3 8 \cdot x +6\)\(x\) und \(f(x)\) in Zentimetern.

a) Die parallel zur y-Achse gemessene Wandstärke der Hülle beträgt \(2\ \text{mm}\). Begründen Sie, dass der obere Rand der Hülle für \(-11\leq x \leq 11\) durch eine Funktion mit \(g(x)=\frac 1 {512}\cdot x^3-\frac 3 8 \cdot x +5,8\) beschrieben wird; \(x\) und \(g(x)\) in Zentimetern.

Bestimmen Sie den Innendurchmesser der Hülle am Boden und den maximalen Innendurchmesser der Hülle.

Die Hülle erhält einen zylinderförmigen Einsatz aus Glas wie in der Abbildung 1 dargestellt. Seine Wandstärke beträgt \(3\ \text{mm}\). Der Einsatz reicht vom Boden bis \(1\ \text{cm}\) unterhalb der Öffnung. Berechnen Sie das maximale Füllvolumen des Einsatzes in \(\text{Litern}\). Berechnen Sie die Höhe, bis zu der der Einsatz gefüllt werden muss, damit er \(0,75\ \text{Liter}\) Flüssigkeit enthält.

(16 BE)

b) An der Hülle wird ein Griff angebracht. Der Rand des Griffs wird für \(-8\leq x \leq 8\) beschrieben durch eine Funktion \(h\) mit \(h(x)=-\frac 3 {64}\cdot x^2-\frac 1 4\cdot x+9\)\(x\) und \(h(x)\) in Zentimetern.

Zeigen Sie, dass der Übergang zwischen Modellierung von Griff und Hülle an der Stelle \(x=-8\) zwar sprungfrei, aber nicht knickfrei ist. Der obere Rand der Hülle hat im Punkt \(B(8|4)\) eine waagerechte Tangente. Bestimmen Sie die Größe des Winkels \(\alpha\), unter dem der Griff am Punkt \(B\) auf den oberen Rand der Hülle trifft.

Zeigen Sie:

  • Der parallel zur y-Achse gemessene Abstand zwischen Griff und oberem Rand der Hülle ist stets kleiner als \(3,5\ \text{cm}\).
  • Der Flächeninhalt des Querschnitts zwischen Griff und Hülle beträgt mindestens \(30\ \text{cm}^2\).

(14 BE)

c) Unabhängig vom Sachzusammenhang wird eine ganzrationale Funktion \(p\) dritten Grades betrachtet. In der Abbildung 2 der Anlage ist der Graph der zugehörigen Ableitungsfunktion \(p'\) dargestellt. Begründen Sie mithilfe der Abbildung 2, dass die Funktion \(p\) zwar eine Wendestelle, aber keine Extrema besitzt.

(4 BE)

Originalprüfung 2015 Analysis GA - Abbildung 1

Originalprüfung 2015 Analysis GA - Abbildung 2

  • Punkte:  34

Aufgabe 1B

Bei der Untersuchung eines Patienten wird ein Atemstoßtest durchgeführt. Dazu soll der Patient einmal möglichst vollständig und schnell ausatmen. Die hierbei pro Zeit ausgeatmete Luft wird als Atemfluss bezeichnet. Dieser wird in Litern pro Sekunde und die Zeit in Sekunden gemessen. Der Messvorgang und das Ausatmen beginnen gleichzeitig zum Zeitpunkt \(t_0=0\ \text{s}\).
In den ersten drei Sekunden des Ausatmens wird der Atemfluss durch die Funktion \(f\) mit \(f(t)=40\cdot e^{-\frac 5 2 \cdot t}\)\(t\) in Sekunden, \(f(t)\) in Litern pro Sekunde, modelliert. Die Abbildung in der Anlage zeigt den Graphen von \(f\).

a) Bestimmen Sie den Zeitpunkt \(t_1\), zu dem der Atemfluss maximal ist. Bestimmen Sie den Zeitpunkt \(t_2\), zu dem der Atemfluss am stärksten abnimmt. Der Messvorgang wird beendet, wenn der Atemfluss nach dem Zeitpunkt \(t_1\) die Grenze von \(0,1 \frac{\text{L}}{\text{s}}\) unterschreitet. Berechnen Sie die Dauer des Messvorgangs. 

(11 BE) 

b) Es wird modellhaft vorausgesetzt, dass die Lunge zum Zeitpunkt \(t_0=0 \ \text{s}\) voll und zum Zeitpunkt \(t_3=2,81\ \text{s}\) leer ist. Ein Patient wird als gesund eingestuft, wenn er innerhalb der ersten Sekunde mindestens \(75\ \%\) der in seiner Lunge vorhandenen Luft ausatmet. Entscheiden Sie, ob der obige Patient bezüglich dieses Kriteriums als gesund eingestuft werden kann.
Bestimmen Sie ein Zeitintervall ab \(t_1=0,4\ \text{s}\) so, dass der Patient innerhalb dieses Zeitintervalls \(1\) Liter Luft ausatmet.

(11 BE)

Unabhängig vom Sachzusammenhang werden im Folgenden die Funktion \(f\) und die Geraden \(g_k\) mit der Gleichung \(g_k(t)=k\cdot t,\ k \in \mathbb{R}\), betrachtet.

c) Bestimmen Sie den Wert des Parameters \(k\) so, dass die zugehörige Gerade \(g\) auf der Tangente an den Graphen von \(f\) im Wendepunkt senkrecht steht.
Ohne Nachweis können Sie verwenden: Wenn für die Steigungen \(m_1\) und \(m_2\) zweier Geraden die Beziehung gilt: \(m_1 \cdot m_2=-1\), dann stehen die zugehörigen Geraden senkrecht aufeinander.
Untersuchen Sie, wie viele Punkte die Geraden der Schar \(g_k\) mit dem Graphen der Funktion \(f\) in Abhängigkeit vom Wert des Parameters \(k\) jeweils gemeinsam haben.

(12 BE)

Originalprüfung 2015 Analysis GA - Abbildung 3

  • Punkte:  34
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