Graphen einer Funktion der Funktionenschar \(f_k\) mit \(f_k(x)=sin(x)+k\cdot x, \ k\in\mathbb R\) und ihrer Ableitungsfunktion.

 

 

  • Aufgabe 1

    40 Minuten 16 Punkte

    Im Material sind die Graphen einer Funktion der Funktionenschar \(f_k\) mit \(f_k(x) = \mathrm{sin}(x) + k·x,\ k \in \mathbb R\), und ihrer Ableitungsfunktion zu sehen.

    1.1

    Geben Sie die erste Ableitung von \(f_k \) an. Beschriften Sie die Graphen im Material jeweils mit der zugehörigen Funktion. Bestimmen Sie \(k\) für die im Material abgebildeten Funktionsgraphen.

    (4 BE)

    1.2

    Untersuchen Sie unter Einbeziehung der Eigenschaften des Graphen der Ableitungsfunktion, für welche Werte von \(k\) die Scharfunktionen \(f_k \) Extremstellen haben.

    (5 BE)

    1.3

    Skizzieren Sie im Material die Fläche zwischen dem Graphen von \(f_k \) und der Geraden mit der Gleichung \(y=k \cdot x\) über dem Intervall \([0;2π]\) für den in Aufgabe 1.1 bestimmten Wert von \(k\). 

    (2 BE)

    1.4

    Betrachtet werden für jede Scharfunktion \(f_k \) die Flächenstücke zwischen dem Graphen von \(f_k \) und der Geraden mit der Gleichung \(y=k \cdot x\), die jeweils von zwei aufeinanderfolgenden Schnittpunkten begrenzt werden. Zeigen Sie mithilfe geeigneter Rechnungen, dass alle diese Flächenstücke unabhängig von \(k\) gleich groß sind.

    (5 BE)

  • Aufgabe 2

    20 Minuten 8 Punkte

    Der Temperaturverlauf eines Tages (gemessen in \(^°C\)) in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) (gemessen in Stunden) kann modellhaft durch eine Funktion \(g\) dargestellt werden, die folgende Form hat:

    \(g(t)=a\cdot \mathrm{sin}\left(\frac 1 {12}\pi\cdot(t-b)\right)+c,\ t\in \mathbb R,\ 0\leq t\leq24\) und \(a,\ b,\ c\in \mathbb R\)

    An einem bestimmten Tag wird um \(4\ \text {Uhr}\) morgens die tiefste Tagestemperatur von \(16\ ^°C\) gemessen. Im Laufe des Tages steigt die Temperatur auf einen Maximalwert von \(26\ ^°C\) an. Bestimmen Sie unter Nutzung Ihrer Kenntnisse über die Eigenschaften der Sinusfunktion zu den gegebenen Daten passende Werte für die Parameter \(a,\ b\) und \(c\). Beschreiben Sie die Bedeutung der Parameter im Sachzusammenhang. 

    (8 BE)

  • Aufgabe 3

    40 Minuten 16 Punkte

    An einem bestimmten Tag wird in der Stadt Frankfurt am Main der Temperaturverlauf annähernd durch die Funktion \(h\) beschrieben mit:

    \(h(t)=-6\cdot\mathrm{sin}\left(\frac \pi{12}t+\frac \pi{12}\right)+0,4t+10,5,\ t\in \mathbb R,\ 0\leq t\leq 24\)
    (\(t\) in Stunden, \(h(t)\) in \(^°C\) auf eine Nachkommastelle genau angegeben.)

    3.1

    Untersuchen Sie, zu welcher Uhrzeit die minimale und zu welcher Uhrzeit die maximale Temperatur erreicht wird.

    Hinweis: Eine Betrachtung der Randwerte ist nicht erforderlich.

    (9 BE)

    3.2

    Liegen nur wenige Temperaturmessungen vor, wird die mittlere Tagestemperatur näherungsweise nach der Formel \(T_L=\frac 1 4(T_0+T_6+T_{12}+T_{18})\) berechnet, wobei \(T_0,\ T_6,\ T_{12}\) und \(T_{18}\) die gemessenen Temperaturen zu den sogenannten „synoptischen Stunden“ um \(0,\ 6,\ 12\) und \(18\ \text{Uhr}\) des Tages bezeichnen. Berechnen Sie mithilfe von \(h\) und dieser Formel die mittlere Tagestemperatur an diesem Tag.

    (3 BE)

    3.3

    Mit \(\overline T=\frac 1 {24}\int_0^{24}h(t)\ \mathrm d t\) kann ebenfalls eine sinnvolle mittlere Tagestemperatur berechnet werden. Berechnen Sie damit die mittlere Tagestemperatur in Frankfurt an diesem Tag. Berechnen Sie zudem die prozentuale Abweichung der Näherung durch die „synoptische Stunden“-Formel aus Aufgabe 3.2 vom hier berechneten Wert von \(\overline T\). 

    (4 BE)

  • Aufgabe 4

    1 Minute

    Material

    Graphen einer Funktion der Funktionenschar \(f_k\) mit \(f_k(x)=sin(x)+k\cdot x, \ k\in\mathbb R\) und ihrer Ableitungsfunktion.