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Originalprüfung 2015 Analysis 1.2 GK


Aufgabe 1.2: Fischmobile

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit der Gleichung \(f(x)=\frac{1}{16}x^3-\frac{5}{8}x^2+\frac{25}{16}x; \; x\in\mathbb R\). Der Graph dieser Funktion ist \(G_f\).

a)

Geben Sie das Verhalten der Funktionswerte von \(f\) für \(x → +∞\) und \(x → −∞\) an. Berechnen Sie die Nullstellen von \(f\). Begründen Sie, dass der Graph der Funktion \(f\) nicht achsensymmetrisch zur y-Achse verlaufen kann.

(9 BE)

b)

Bestimmen Sie die Art und die Koordinaten lokaler Extrempunkte von \(G_f\).
Der Graph von \(f\) besitzt an der Stelle \(x_W=\frac {10}{3}\) einen Wendepunkt. Ermitteln Sie die Größe des Steigungswinkels der Tangente an den Graphen der Funktion \(f\) in diesem Wendepunkt. Zeichnen Sie \(G_f\) im Intervall \([0;8]\) in das in der Anlage gegebene Koordinatensystem. 

(14 BE)

Für ein Mobile soll eine Figur in der Form eines Fisches aus Pappe hergestellt werden. Das Profil des Fisches wird durch den Graphen \(G_f\) und den durch Spiegelung von \(G_f\) an der x-Achse entstandenen Graphen \(G_g\) begrenzt. Im Aufhängepunkt \(P(5 | 0)\) berühren sich die beiden Graphen, siehe nebenstehende Darstellung.

Originalprüfung 2015 Analysis 1.2 GK - Abbildung 1

c)

Der gespiegelte Graph \(G_g\) ist der Graph einer Funktion \(g\). Geben Sie eine Funktionsgleichung von \(g\) an. Zeichnen Sie \(G_g\) in das Koordinatensystem in der Anlage ein.

(3 BE)

d)

Im Folgenden gilt: \(1\text{ LE} = 1\ \text{cm}\).
Der Fisch soll so hergestellt werden, dass die Schwanzflosse (rechts von \(P\)) denselben Flächeninhalt wie der vordere Teil des Fischkörpers (links von \(P\)) hat. Zeigen Sie, dass für die Breite \(b = 2,8\ \text{cm}\) der Schwanzflosse die beiden Flächeninhalte auf Zehntel gerundet gleich sind.
Bestimmen Sie die Höhe \(h\) dieser Schwanzflosse.

(8 BE)

e)

Ein Mobile besteht aus mehreren solcher Fische. Der Verkauf erfolgt in einer Schachtel, die die Form eines dreiseitigen Prismas hat. Die Grundfläche der Schachtel wird durch die Tangenten an die Graphen \(G_f\) und \(G_g\) in den Punkten \(T_1(1|1)\) und \(T_2(1|-1)\) sowie die Gerade, auf der das Ende der Schwanzflosse liegt, begrenzt. Ermitteln Sie den Flächeninhalt der Grundfläche für eine solche Schachtel.

(6 BE)

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