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Originalprüfung 2015 Analysis 1.1 GK


Aufgabe 1.1: Bienen

Die Funktion \(b\) mit \(b(t ) = 60 − 54 ⋅ e^{−0,25t}\) beschreibt für \(0 ≤ t ≤ 12\) näherungsweise die Anzahl der Bienen in einem Bienenvolk im Zeitraum von April bis Juni. Dabei ist \(t\) die Zeit seit Beobachtungsbeginn in Wochen und \(b(t )\) die Anzahl der Bienen in Tausend. 

a)

Ermitteln Sie die Bienenanzahl zu Beobachtungsbeginn, nach 4 Wochen und nach 12 Wochen. Begründen Sie, dass die Funktion \(b\) für \(t → ∞ \) einen Grenzwert hat. Geben Sie diesen Grenzwert an. Skizzieren Sie den Graphen von \(b\) für \(0 ≤ t ≤ 12\) mithilfe der ermittelten Werte im Koordinatensystem in der Anlage.

(10 BE)

b)

Vom Imkerverband wird eine neue Bienensorte empfohlen, bei der der Bienenbestand \( f (t ) \) besonders schnell wächst (\(t\) in Wochen und \(f (t )\) in Tausend). Die Wachstumsgeschwindigkeit (gemessen in 1000 Bienen pro Woche) wird durch die Funktion \(v\) mit \(v(t ) = f'(t ) = 3⋅ e^{0,25t}\) angegeben. Ermitteln Sie für beide Bienensorten die Wachstumsgeschwindigkeiten zu Beobachtungsbeginn und nach 6 Wochen.
Vergleichen Sie das Wachstum des Bienenbestands bei beiden Sorten. 

(9 BE)

c)

Ein Bienenvolk der neuen Sorte hat zu Beobachtungsbeginn 2000 Bienen. Ermitteln Sie die Gleichung der Funktion \(f\), die die Entwicklung des Bienenbestands beschreibt. [Zur Kontrolle: \(f (t ) = 12 ⋅ e^{0,25t} −10\)] Zeichnen Sie den Graphen von \(f\) für \(0 ≤ t ≤ 8\) mithilfe von drei geeigneten Wertepaaren in das Koordinatensystem von Aufgabenteil a) ein. 

(10 BE)

d)

Die Funktion \(d\) mit \(d(t )= b(t ) − f (t )\) beschreibt den Unterschied des Bienenbestands zwischen der alten und der neuen Sorte. Ermitteln Sie den Zeitpunkt \(t\), bei dem der Unterschied in den ersten 6 Wochen am größten ist. Für die Berechnung von \(t\) genügt die Verwendung der notwendigen Bedingung.

(7 BE)

e)

Weisen Sie nach, dass zum Zeitpunkt \(t\), bei dem der Unterschied bei der alten und der neuen Bienensorte am größten ist, die momentanen Wachstumsgeschwindigkeiten bei beiden Sorten gleich sind. Für diesen Nachweis sollen die Wachstumsgeschwindigkeiten nicht konkret berechnet werden.

(4 BE)

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