Bessere Noten mit Duden Learnattack Jetzt kostenlos testen
 

Analytische Geometrie, erweitertes Anforderungsniveau, 1. Aufgabe


Zugelassene Hilfsmittel: wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit), mathematische Formelsammlung, Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung

 

Aufgabe

Ein Blatt DIN-A4-Papier liegt in der \(x_1\)\(x_2\)-Ebene. Gegeben sind seine Eckpunkte \(O \left( 0 | 0 | 0 \right)\), \(A \left( \sqrt 2 | 0 | 0 \right)\)\(B \left( \sqrt 2 | 1 | 0 \right)\) und \(C \left( 0 | 1 | 0 \right) \) sowie der Punkt \(D \left( 1 | 1 | 0 \right)\). (Als Längeneinheit (LE) wird die Länge der kürzeren Seite des DIN-A4-Blattes verwendet.)

Das Blatt wird jetzt entlang der Strecke \(\overline{OD}\) gefaltet. Das Dreieck \(ODC\) bleibt dabei fest, während das Viereck \(OABD\) in das Viereck \(OA'B'D\) übergeht, das wieder in der \(x_1\)\(x_2\)-Ebene liegt. Die Gegebenheiten sind in den folgenden Schrägbildern dargestellt. Zur Veranschaulichung kann das als Seite 4 beigefügte DIN-A4-Blatt entsprechend gefaltet werden.

Analytische Geometrie, erweitertes Anforderungsniveau, 1. Aufgabe - Abbildung 1

a)

Bestimmen Sie den Abstand des Punktes \(B\) von der Geraden \(OD\).

  • Punkte:  8

b)

  1. Leiten Sie je eine Gleichung dieser Ebene \(E\) in Parameterform und in Normalenform her. 
    [Zur Kontrolle eine Koordinatengleichung: \(E: x_1+x_2 = \sqrt 2\)]
  2. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes \(S\) der Ebene \(E\) mit der Geraden \(OD\).
    [Zur Kontrolle: \(S \left( \frac 1 2 \sqrt 2 \middle| \frac 1 2 \sqrt 2 \middle| 0 \right)\)]
  • Punkte:  11

c)

Während des Faltvorgangs liegt das beim Falten bewegte Papierviereck stets in einer Ebene \(E_k\) der durch \( E_k: x_y - x_2 + k \cdot x_3 = 0\), \(k \in \mathbb R\), gegebenen Ebenenschar. Vorher und nachher liegt es jeweils in der \(x_1\)\(x_2\)-Ebene (siehe Abbildungen 1 bis 4).

  1. Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Gerade \(OD\) in jeder Ebene \(E_k\) der Ebenenschar liegt.
  2. Begründen Sie, dass die Ebene \(E\) aus b) senkrecht zu jeder Ebene \(E_k\), \(k \in \mathbb R\), ist. 

Während des Faltvorgangs wird das beim Falten bewegte Papierviereck auch in die Position des Vierecks \(OA^*B^*D\) gebracht, das in einer sowohl zur \(x_1\)\(x_2\)-Ebene als auch zur Ebene \(E\) senkrechten Ebene \(E^*\) liegt (siehe Abbildung 3).

  1. Berechnen Sie den Wert des Parameters \(k\), für den \(E_k=E^*\) ist.
  2. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes \(A^*\).

Analytische Geometrie, erweitertes Anforderungsniveau, 1. Aufgabe - Abbildung 2

  • Punkte:  18

d)

Während des Faltvorgangs kommt das beim Falten bewegte Papierviereck auch in die Position des Vierecks \(OA''B''D\), dessen Punkt \(A''\) in der Ebene \(x_2=1\) liegt. 

  1. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes \(A''\).
    [Zur Kontrolle: \(A'' \left( \sqrt 2 - 1 \middle| 1 \middle| \sqrt{2\sqrt 2 -2} \right)\)]
  2. Zeigen Sie, dass das Dreieck \(OCA''\) gleichschenklig rechtwinklig ist. 

Analytische Geometrie, erweitertes Anforderungsniveau, 1. Aufgabe - Abbildung 3

  • Punkte:  13
Die Veröffentlichung der Originalprüfung erfolgt mit freundlicher Genehmigung des jeweiligen Kultusministeriums.
Registriere dich, um den vollen Inhalt zu sehen!

VERSTÄNDLICH

PREISWERT

ZEITSPAREND

Weitere Mathethemen findest du hier

Wähle deine Klassenstufe

Weitere Abiturprüfungen findest du hier