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Analytische Geometrie, grundlegendes Anforderungsniveau, 2. Aufgabe


Zugelassene Hilfsmittel: wissenschaftlicher Taschenrechner (mit oder ohne Grafikfähigkeit), mathematische Formelsammlung, Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung

Aufgabe

Die Entwicklung der Population einer bestimmten Seevogelart in einem festgelegten Beobachtungsgebiet wird durch folgende Modellannahmen beschrieben:

Die Überlebensrate der Vögel in den ersten beiden Lebensjahren wird jeweils mit \(0{,}6\) angenommen, in den späteren Lebensjahren mit \(0{,}8\). Die erste Brut findet im 3. Lebensjahr statt, der Bruterfolg wird mit \(0{,}5\) Jungvögeln pro Elternvogel und Jahr angenommen. Die Vögel werden in 3 Altersgruppen eingeteilt, deren Anzahlen


\(x_1\): Anzahl der Jungvögel im 1. Lebensjahr (Altersgruppe 1)
\(x_2\): Anzahl der Vögel im 2. Lebensjahr (Altersgruppe 2)
\(x_3\): Anzahl der Altvögel, die älter als 2 Jahre sind (Altersgruppe 3)

durch jährliche Zählungen ermittelt und jeweils zu einer Verteilung
\(\overrightarrow x=\left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2\\x_3\end{array}\right)\)
zusammengefasst werden. (Verteilungsvektoren werden der Einfachheit halber im Folgenden kurz „Verteilung“ genannt.) Die Matrix
\(L =\begin{pmatrix}0 & 0 & 0{,}5\\ 0{,}6 & 0 &0 \\0 & 0{,}6& 0{,}8\end{pmatrix}\)
beschreibt dieses Modell.

a)

Die aktuelle Zählung ergibt \(x_1 = 2000\)\(x_2 = 4000\) und \(x_3 = 15.000\).

  1. Berechnen Sie, ausgehend von diesen Zahlen, die Verteilung der Vögel nach einem Jahr und nach 2 Jahren.
  2. Bestimmen Sie die Verteilung der Vögel, die sich aus dem Modell für das Vorjahr ergäbe. 
  3. 5 Elemente der Matrix \(L\) haben den Wert \(0\). Erklären Sie für jedes dieser Elemente aus dem Sachzusammenhang heraus, warum es den Wert \(0\) hat.
  • Punkte:  15

b)

  1. Untersuchen Sie, ob es eine von \(\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\0\end{array}\right)\) verschiedene stationäre Verteilung gibt, d. h. eine Verteilung, die sich innerhalb eines Jahres nicht ändert.
  2. Wenn sich die Population sehr lange nach dem durch die Matrix \(L\) beschriebenen Modell entwickelt, wird sie sich pro Jahr näherungsweise um einen festen Prozentsatz \(p\) verkleinern. Nach \(20\) Jahren wird sie noch aus insgesamt \(17.870\) Vögeln, nach weiteren \(10\) Jahren aus \(15.422\) Vögeln bestehen. 
    Berechnen Sie anhand dieser Angaben einen Näherungswert für den Prozentsatz \(p\).
  3. Langfristig gilt \(p \approx 1{,}462\ \%\). Ermitteln Sie näherungsweise, in wie viel Jahren sich unter dieser Voraussetzung die Population jeweils halbiert.

Durch Schutzmaßnahmen wird – bei sonst gleichbleibenden Modellannahmen – der Bruterfolg auf die Quote von \(\frac59\) Jungvögel pro Elternvogel und Jahr erhöht.

  1. Zeigen Sie, dass die Verteilung \(\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\9\end{array}\right)\) für jede positive ganze Zahl \(n\) eine stationäre Verteilung ist.
  2. Berechnen Sie für eine konkrete stationäre Verteilung aus (4) die prozentualen Anteile jeder der 3 Altersgruppen an der Gesamtzahl der Vögel und zeigen Sie, dass sich für jede stationäre Verteilung aus (4) unabhängig von \(n\) dieselben Anteile ergeben.
  • Punkte:  21

c)

Die Entwicklung einer Population einer anderen Vogelart ist durch den unten stehenden Übergangsgraphen gegeben, wobei sich die Übergangsquoten wieder auf ein Jahr beziehen.

Analytische Geometrie, grundlegendes Anforderungsniveau, 2. Aufgabe - Abbildung 1

  1. Geben Sie dazu eine Übergangsmatrix \(M\) an.
  2. Beschreiben Sie anhand des Übergangsgraphen, nach welchen Modellannahmen die Entwicklung der Population dieser anderen Vogelart im Vergleich zur bisher betrachteten Seevogelart abläuft.
  • Punkte:  9
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