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Originalprüfung 2014 Analytische Geometrie/Stochastik Wahlteil, Aufgabe B2


Zugelassene Hilfsmittel: GTR und Formelsammlung

Aufgabe 1

An einer rechteckigen Platte mit den Eckpunkten \(A\left(10|6|0\right)\), \(B\left(0|6|0\right)\), \(C\left(0|0|3\right)\) und \(D\left(10|0|3\right)\) ist im Punkt \(F\left(5|6|0\right)\) ein 2 m langer Stab befestigt, der in positive \(x_3\)-Richtung zeigt.
Eine punktförmige Lichtquelle befindet sich zunächst im Punkt \(L\left(8|10|2\right)\).
(Koordinatenangaben in m)

a)

Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E, in der die Platte liegt.
Stellen Sie die Platte, den Stab und die Lichtquelle in einem Koordinatensystem dar.
Berechnen Sie den Winkel zwischen dem Stab und der Platte.

(Teilergebnis: \(E:x_{2}+2x_{3}=6\))

  • Punkte:  3

b)

Der Stab wirft einen Schatten auf die Platte.

Bestimmen Sie den Schattenpunkt des oberen Endes des Stabes.
Begründen Sie, dass der Schatten vollständig auf der Platte liegt. 

  • Punkte:  3

c)

Die Lichtquelle bewegt sich von \(L\) aus auf einer zur \(x_1x_2\)-Ebene parallelen Kreisbahn, deren Mittelpunkt das obere Ende des Stabes ist. Dabei kollidiert die Lichtquelle mit der Platte.

Berechnen Sie die Koordinaten der beiden möglichen Kollisionspunkte.

  • Punkte:  3

Aufgabe 2

Bei der Produktion von Bleistiften beträgt der Anteil fehlerhafter Stifte erfahrungsgemäß 5 %.

a)

Ein Qualitätsprüfer entnimmt der Produktion zufällig 800 Bleistifte. Die Zufallsvariable \(X\) beschreibt die Anzahl der fehlerhaften Stifte in dieser Stichprobe.

Berechnen Sie \(P(X\leq 30)\).
Mit welcher Wahrscheinlichkeit weicht der Wert von \(X\) um weniger als 10 vom Erwartungswert von \(X\) ab?

  • Punkte:  4

b)

Der Betrieb erwirbt eine neue Maschine, von der behauptet wird, dass höchstens 2 % der von ihr produzierten Bleistifte fehlerhaft sind. Diese Hypothese H₀ soll mithilfe eines Tests an 800 zufällig ausgewählten Stiften überprüft werden.

Bei welchen Anzahlen fehlerhafter Stifte entscheidet man sich gegen die Hypothese, wenn die Irrtumswahrscheinlichkeit maximal 5 % betragen soll?

  • Punkte:  3
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