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Originalprüfung 2014 Analytische Geometrie/Stochastik Wahlteil, Aufgabe B1


Aufgabe 1

Gegeben sind die Punkte \(A(5|-5|0)\), \(B(5|5|0)\), \(C(-5|5|0)\) und \(D(-5|-5|0)\). Das Quadrat \(ABCD\) ist die Grundfläche einer Pyramide mit der Spitze \(S(0|0|12)\). Die Seitenfläche \(BCS\) liegt in der Ebene \(E\).

a)

Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von \(E\).
Berechnen Sie den Winkel, der von der Seitenfläche \(BCS\) und der Grundfläche der Pyramide eingeschlossen wird.
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks \(BCS\).

  • Punkte:  4

b)

Betrachtet werden nun Quader, die jeweils 4 Eckpunkte auf den Pyramidenkanten und 4 Eckpunkte in der Grundfläche der Pyramide haben. Einer dieser Quader hat den Eckpunkt \(Q(2,5|2,5|0)\).
Berechnen Sie sein Volumen.

Bei einem anderen dieser Quader handelt es sich um einen Würfel.
Welche Koordinaten hat dessen Eckpunkt auf der Kante \(BS\)

  • Punkte:  4

Aufgabe 2

In einem Gefäß G1 sind 6 schwarze und 4 weiße Kugeln.
In einem Gefäß G2 sind 3 schwarze und 7 weiße Kugeln.

a)

Aus dem Gefäß G1 wird 20-mal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 12-mal eine schwarze Kugel gezogen wird.

Aus dem Gefäß G2 wird 8-mal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 schwarze Kugeln gezogen werden, und zwar bei direkt aufeinanderfolgenden Zügen.

  • Punkte:  4

b)

Nun werden aus G1 2 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen und in das Gefäß G2 gelegt. Anschließend wird eine Kugel aus G2 gezogen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Kugel schwarz?

  • Punkte:  3
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