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Originalprüfung 2014 Analytische Geometrie, Teil A, A2


Aufgabe 1

Die Vektoren \(\overrightarrow{a} =\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\2\end{array}\right)\), \(\overrightarrow{b} =\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\0\end{array}\right)\) und \(\overrightarrow{c} =\left(\begin{array}{c}4t\\ 2t\\-5t\end{array}\right)\) spannen für jeden Wert von \(t\) mit \(t \in \mathbb{R} \backslash \left\{0 \right\}\) einen Körper auf. Die Abbildung zeigt den Sachverhalt beispielhaft für einen Wert von \(t\).

Originalprüfung 2014 Analytische Geometrie, Teil A, A2 - Abbildung 1

  1. Zeigen Sie, dass die aufgespannten Körper Quader sind.
  2. Bestimmen Sie diejenigen Werte von \(t\), für die der jeweils zugehörige Quader das Volumen 15 besitzt.
  • Punkte:  5

Aufgabe 2

Eine Kugel besitzt den Mittelpunkt \(M(-3|2|7)\). Der Punkt \(P(3|4|4)\) liegt auf der Kugel.

  1. Der Punkt \(Q\) liegt ebenfalls auf der Kugel, die Strecke \([PQ]\) verläuft durch deren Mittelpunkt. Ermitteln Sie die Koordinaten von \(Q\).
  2. Weisen Sie nach, dass die Kugel die \(x_1 x_2\)-Ebene berührt.
  • Punkte:  5
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