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Originalprüfung 2014 Analysis Wahlteil, Aufgabe A2


Zugelassene Hilfsmittel: GTR und Formelsammlung

Aufgabe 1

Die Anzahl ankommender Fahrzeuge vor einem Grenzübergang soll modelliert werden. Dabei wird die momentane Ankunftsrate beschrieben durch die Funktion \(f\) mit:

\(f(t)=\frac{1.300.000\cdot t}{t^{4}+30.000};\quad 0 \leq t \leq 30\)
(\(t\) in Stunden nach Beobachtungsbeginn; \(f(t)\) in Fahrzeuge pro Stunde)

Anfangs befinden sich keine Fahrzeuge vor dem Grenzübergang.

a)

Skizzieren Sie den Graphen von \(f\).
Wann ist die momentane Ankunftsrate maximal?
Bestimmen Sie die Anzahl der Fahrzeuge, die in den ersten 6 Stunden ankommen.

  • Punkte:  4

b)

Am Grenzübergang werden die Fahrzeuge möglichst schnell abgefertigt, jedoch ist die momentane Abfertigungsrate durch 110 Fahrzeuge pro Stunde begrenzt.

Wann beginnen sich die Fahrzeuge vor dem Grenzübergang zu stauen?
Wie viele Fahrzeuge stauen sich maximal vor dem Grenzübergang?
Welches Ergebnis erhielte man, wenn die momentane Abfertigungsrate 12 Stunden nach Beobachtungsbeginn auf konstant 220 Fahrzeuge pro Stunde erhöht würde?

  • Punkte:  6

Aufgabe 2

Für jedes \(a>0\) ist eine Funktion \(f_{a}\) gegeben durch:

\(f_{a}(x)=a\cdot \cos(x)-a^{2};\quad -\pi<x<\pi\)

Der Graph von \(f_{a}\) ist \(G_{a}\).

a)

\(G_{a}\) besitzt einen Extrempunkt.  
Bestimmen Sie dessen Koordinaten.

  • Punkte:  2

b)

Durch welche Punkte der \(y\)-Achse verläuft kein Graph \(G_{a}\)?

  • Punkte:  3
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