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Originalprüfung 2014 Analysis Wahlteil, Aufgabe A1


Zugelassene Hilfsmittel: GTR und Formelsammlung

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=10x\cdot e^{-0,5x}\).

Ihr Graph ist K. K besitzt einen Extrempunkt und einen Wendepunkt.

a)

Geben Sie deren Koordinaten an.
Geben Sie eine Gleichung der Asymptote von K an.
Skizzieren Sie K.

  • Punkte:  4

b)

Für jedes \(u > 0\) sind \(O(0|0)\), \(P(u|0)\) und \(Q(u|f(u))\) die Eckpunkte eines Dreiecks.

Bestimmen Sie einen Wert für \(u\) so, dass dieses Dreieck den Flächeninhalt 8 hat.
Für welchen Wert von \(u\) ist das Dreieck OPQ gleichschenklig?

  • Punkte:  4

c)

Auf der \(x\)-Achse gibt es Intervalle der Länge 3, auf denen die Funktion \(f\) den Mittelwert 2,2 besitzt.

Bestimmen Sie die Grenzen eines solchen Intervalls.

  • Punkte:  3

Aufgabe 2

Gegeben ist für jedes \(t>0\) eine Funktion \(f_{t}\) durch \(f_{t}=\frac{1}{3}x^{3}-t^{2}x\).

Bestimmen Sie \(t\) so, dass die beiden Extrempunkte des Graphen von \(f_{t}\) den Abstand 13 voneinander haben. 

  • Punkte:  4
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