Originalprüfung 2014 Analysis Wahlteil, Aufgabe A1
Zugelassene Hilfsmittel: GTR und Formelsammlung
Aufgabe 1
Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=10x\cdot e^{-0,5x}\).
Ihr Graph ist K. K besitzt einen Extrempunkt und einen Wendepunkt.
a)
Geben Sie deren Koordinaten an.
Geben Sie eine Gleichung der Asymptote von K an.
Skizzieren Sie K.
b)
Für jedes \(u > 0\) sind \(O(0|0)\), \(P(u|0)\) und \(Q(u|f(u))\) die Eckpunkte eines Dreiecks.
Bestimmen Sie einen Wert für \(u\) so, dass dieses Dreieck den Flächeninhalt 8 hat.
Für welchen Wert von \(u\) ist das Dreieck OPQ gleichschenklig?
c)
Auf der \(x\)-Achse gibt es Intervalle der Länge 3, auf denen die Funktion \(f\) den Mittelwert 2,2 besitzt.
Bestimmen Sie die Grenzen eines solchen Intervalls.
Aufgabe 2
Gegeben ist für jedes \(t>0\) eine Funktion \(f_{t}\) durch \(f_{t}=\frac{1}{3}x^{3}-t^{2}x\).
Bestimmen Sie \(t\) so, dass die beiden Extrempunkte des Graphen von \(f_{t}\) den Abstand 13 voneinander haben.
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