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Originalprüfung 2014 Analysis, Teil A, AG 1


Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion \(f:x \longrightarrow \frac {x}{\ln x}\) mit Definitionsmenge \(\mathbb{R}^{+}\diagdown\left\{1\right\}\). Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts des Graphen von \(f\).

  • Punkte:  5

Aufgabe 2

Gegeben ist die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x)=e^{x}\cdot (2x+x^{2})\).

  1. Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion \(f\).
  2. Zeigen Sie, dass die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion mit \(F(x)=x^{2}\cdot e^{x} \) eine Stammfunktion von \(f\) ist. Geben Sie eine Gleichung einer weiteren Stammfunktion \(G\) von \(f\) an, für die \(G(1)=2e\) gilt.
  • Punkte:  5

Aufgabe 3

Gegeben sind die in \(\mathbb{R}\) definierten Funktionen \(g_{a,c}:x \longrightarrow \sin(ax)+c\) mit \(a,c \in \mathbb{R}_0^+\).

  1. Geben Sie für jede der beiden folgenden Eigenschaften einen möglichen Wert für \(a\) und einen möglichen Wert für \(c\) an, dass die zugehörige Funktion \(g_{a,c}\) diese Eigenschaften besitzt.
    α) Die Funktion \(g_{a,c}\) hat die Wertemenge \([0;2]\).
    β) Die Funktion \(g_{a,c}\) hat im Intervall \([0;\pi]\) genau 3 Nullstellen.
  2. Ermitteln Sie in Abhängigkeit von \(a\), welche Werte die Ableitung von \(g_{a,c}\) annehmen kann. 
  • Punkte:  5

Aufgabe 4

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion \(f\).

Originalprüfung 2014 Analysis, Teil A, AG 1 - Abbildung 1

  1. Beschreiben Sie für \(a \leq x \leq b\) den Verlauf des Graphen einer Stammfunktion von \(f\).
  2. Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen einer Stammfunktion von \(f\) im gesamten dargestellten Bereich.
  • Punkte:  5
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