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Originalprüfung 2014 Analysis Aufgabe 3, LK


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Aufgabe

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit der Gleichung \(f(x)=8x \cdot e^{-0,25x^2}\)\(x \in \mathbb R\). Der Graph der Funktion \(f\) wird in der Abbildung dargestellt. 

Originalprüfung 2014 Analysis Aufgabe 3, LK - Abbildung 1

a)

  1. Begründen Sie, dass der Graph der Funktion \(f\) symmetrisch zum Ursprung ist.
  2. Berechnen Sie die Nullstellen der Funktionen \(f\) und \(f'\). Untersuchen Sie, an welchen Stellen ein lokales Maximum bzw. Minimum der Funktion \(f\) vorliegt.
    [Zur Kontrolle: \(f'(x)= (8-4x^2) \cdot e^{-0,25x^2}\)]
  3. Zeigen Sie, dass die Funktion \(f\) genau 3 verschiedene Wendestellen besitzt. 
    [Zur Kontrolle: \(f''(x)= x \cdot (2x^2 - 12 ) \cdot e^{-0,25x^2}\)]
  • Punkte:  17

b)

Gegeben ist die Ursprungsgerade \(g_m\) mit der Gleichung \(​g_m(x)=m \cdot x\), \(x \in \mathbb R\), wobei \(m\) eine positive reelle Zahl ist. 

  1. Beweisen Sie: Genau für \(m<8\) schneidet die Gerade \(g_m\) den Graphen der Funktion \(g_m\) im I. Quadranten im Ursprung \(0\) und in einem davon verschiedenen Punkt \(P \)
  2. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes \(P\)
    [Zur Kontrolle: \(P\) besitzt die \(x\)-Koordinate \(2 \cdot \sqrt{\ln \frac 8 m }\).]
  • Punkte:  9

c)

  1. Zeigen Sie, dass die Funktion \(F\) mit der Gleichung
    \(F(x)=-16 \cdot e ^{-0,25x^2};\quad x \in \mathbb R\)
    eine Stammfunktion der Funktion \(f\) ist.
  2. Es sei \(h\) die Ursprungsgerade mit der Gleichung \(h(x)=4 \cdot x\), \(x \in \mathbb R\). Erklären Sie, dass die Gerade \(h\) und der Graph der Funktion \(f\) im I. Quadranten eine Fläche einschließen. Ermitteln Sie den Inhalt dieser Fläche.
  • Punkte:  12

d)

Man betrachtet den Graphen der Funktion \(f\). Die Punkte \(O\) und \(P\) seien wie in b) (1) definiert. Zusätzlich sei der Punkt \(Q\) die senkrechte Projektion des Punktes \(P\) auf die \(x\)-Achse. 

  1. Zeigen Sie: Der Flächeninhalt des Dreiecks \(OQP\) ist:
    \(A(m)=2m \cdot \ln \frac{8}{m};\quad 0 < m < 8\)
  2. Untersuchen Sie, für welche \(m\) der Flächeninhalt des Dreiecks \(OQP\) maximal wird.
  • Punkte:  12
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