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Analysis, erweitertes Anforderungsniveau, 2. Aufgabe


Zugelassene Hilfsmittel: wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit), mathematische Formelsammlung, Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung

 

Aufgabe

In ein Staubecken oberhalb eines Bergdorfes fließen zwei Bäche. Nach Regenfällen unterschiedlicher Dauer und Stärke können die momentanen Zuflussraten1 aus den beiden Bächen durch Funktionen \( f_a\) für den Bach 1 und \( g_a \) für den Bach 2 und die Gesamtzuflussrate aus den beiden Bächen durch eine Funktion \(h_a \) für einen bestimmten Beobachtungszeitraum modelliert werden. Gegeben sind für \(a>0\) zunächst die Funktionsgleichungen:
\(f_a(t) = \frac 1 4 t^3 - 3a \cdot t^2 + 9a^2 + 340;\quad t \in \mathbb R\)
\(h_a(t) = \frac 1 4 t^3 - 7a \cdot t^2 + 24a^2 + 740;\quad t \in \mathbb R\)

Dabei fasst man \(t\) als Maßzahl zur Einheit \(1 \text{ h}\) und \(f_a(t)\), \(g_a(t)\) sowie \(h_a(t)\) als Maßzahlen zur Einheit \(1 \frac{ \text{m}^3}{ \text{h} }\) auf. Der Beobachtungszeitraum beginnt zum Zeitpunkt \(t=0\) und endet zum Zeitpunkt \(t=6a\). Die Graphen von \(f_4\), \(g_4\) und \(h_4\) sind in der Abbildung dargestellt.

Analysis, erweitertes Anforderungsniveau, 2. Aufgabe - Abbildung 1

a) 

  1. Berechnen Sie die Gesamtzuflussrate aus den beiden Bächen zu Beginn und am Ende des Beobachtungszeitraums.
  2. Zeigen Sie, dass für die Funktion \(g_a\), die die Zuflussrate aus Bach 2 beschreibt, gilt:
    \(g_a(t)= \frac 1 4 t^3 - 4a\cdot t^2 + 15 a^2 \cdot t + 400\)
  3. Begründen Sie, dass unabhängig vom Parameter \( a\text{ }(a>0)\) die Zuflussrate aus Bach 2 für alle \(t\in [0;6a]\) größer ist als die Zufallsrate aus Bach 1.
  4. Bestimmen Sie in Abhängigkeit von \(a\) den Zeitpunkt \(t_m \in [0;6a]\), zu dem die Gesamtzuflussrate ihr Maximum annimmt. 
  • Punkte:  21

b)

  1. Bestimmen Sie die Wendestelle der Funktion \(h_a\).
  2. Bestimmen Sie den Zeitpunkt des Beobachtungszeitraums, zu dem sich die Gesamtzuflussrate am stärksten ändert.
  3. Geben Sie nun die Bedeutung der Wendestelle aus (1) im Sachzusammenhang an. 
  • Punkte:  15

c)

Im Folgenden sei \(a=4\): \(h_4(t)= \frac 1 2 t^3 - 28 t^2 + 384t + 740\), \(t \in [0;24]\). Zum Zeitpunkt \(t=0\) kann das Staubecken noch \(20.000 \,\mathrm{m^3}\) Wasser aufnehmen. 

  1. Entscheiden Sie, ob das Staubecken das gesamte Wasser aus den beiden Bächen während der 24 Stunden des Beobachtungszeitraums aufnehmen könnte. 
  2. Die Gleichung \(\int_{0}^{b} h_4(t)\mathrm{d}t=20.000\) hat die (positive) Lösung \(b \approx 10{,}65\).
    Geben Sie die Bedeutung dieser Lösung im Sachzusammenhang an.
  3. Um ein Überlaufen des Staubeckens zu verhindern, wird zum Zeitpunkt \(t=10 \) ein vorher verschlossener Notablauf geöffnet. Durch diesen fließt Wasser mit einer konstanten Abflussrate von \(2.000\,\frac{ \text{m}^3}{ \text{h} }\) aus dem Staubecken ab. Der Notablauf bleibt bis zum Ende des Beobachtungszeitraums geöffnet. Ohne Nachweis darf verwendet werden, dass die Gesamtzuflussrate für \(10\leq 1 \leq 14\) größer und für \(14<t\leq 24\)  kleiner als \(2.000\, \frac{ \text{m}^3}{ \text{h} }\) ist (vgl. Abbildung).
    Untersuchen Sie, ob das Staubecken innerhalb des Beobachtungszeitraums überläuft. 
  • Punkte:  14

1 Im Folgenden wird zur besseren Lesbarkeit nur der Begriff Zuflussrate verwendet; darunter ist stets die momentane Zuflussrate zu verstehen. 

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