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Analysis, grundlegendes Anforderungsniveau, 1. Aufgabe


Zugelassene Hilfsmittel: wissenschaftlicher Taschenrechner (mit oder ohne Grafikfähigkeit), mathematische Formelsammlung, Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung

Aufgabe 

Die Funktion \(f\) ist gegeben durch \(f(x) =(2-x)\cdot e^x\), \(x\in \mathbb {R}\). Die Graphen der Funktion \(f\) und ihrer Ableitungsfunktion \(f'\) sind in der Abbildung dargestellt.

Analysis, grundlegendes Anforderungsniveau, 1. Aufgabe - Abbildung 1

 

a)

  1. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von \(f\) mit den Koordinatenachsen.
  2. Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte des Graphen von \(f\).
    [Zur Kontrolle: \(f'(x) = (1-x)\cdot e^x\)]
  3. Untersuchen Sie, ob sich die Graphen der Funktionen \(f\) und \(f'\) schneiden.
  • Punkte:  25

b)

  1. Zeigen Sie, dass die Funktion \(F\) mit der Gleichung \(F(x) = (3-x)\cdot e^x\) eine Stammfunktion von \(f\) ist.

  2. Ermitteln Sie für \(0 \leq z \leq 2\) den Inhalt \(A(z)\) der zwischen dem Graphen von \(f\) und der \(x\)-Achse im Intervall \([0;z]\) eingeschlossenen Fläche in Abhängigkeit von \(z\).
    [Zur Kontrolle: \(A(z) = (3-z)\cdot e^x-3\)]

  • Punkte:  10

c)

Auf einem Erdölfeld wird Öl gefördert. Durch die Funktion \(f\) wird nun für \(0\leq x \leq 2\) die Förderratevon Beginn des Jahres 2013 bis Ende des Jahres 2014 modelliert. Dabei wird \(x\) als Maßzahl der Zeit zur Einheit 1 Jahr und \(f(x)\) als Maßzahl der Förderrate zur Einheit 1 Million Tonnen pro Jahr aufgefasst.

  1. Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen von \(f\) im Intervall \([0;2]\) im Sachzusammenhang.
  2. Bestimmen Sie die für den gesamten Zeitraum von Beginn des Jahres 2013 bis Ende des Jahres 2014 zu erwartende Fördermenge.
  3. Am Ende des ersten Quartals 2014 erkennt der Betreiber, dass die Förderrate von diesem Zeitpunkt an – im Gegensatz zur Modellierung durch die Funktion \(f\) – bis zum Ende der Ölförderung linear abnehmen wird. Zur Darstellung der Förderrate für die verbleibende Dauer der Ölförderung wird daher eine lineare Funktion \(g\) gesucht, deren Graph zum Zeitpunkt \(x = \frac54\) dieselbe Steigung hat wie der Graph der Funktion \(f\).
    Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Funktion \(g\).
    Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Ölförderung enden wird. 
    [Zur Kontrolle: \(g(x) = \frac{1}{16} e^{\frac54} \cdot (17-4x)\)]
  • Punkte:  15
 
1 Unter Förderrate ist stets die momentane Förderrate zu verstehen.
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