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Stochastik, erweitertes Anforderungsniveau, 2. Aufgabe


Hinweis: Um diese Aufgabe lösen zu können, sollte man folgende Lerneinheiten bearbeitet haben: 

BernoulliverteilungLaplace-ExperimentBaumdiagrammBedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit ; Zufallsvariablen und Hypothesentests

Aufgabe 7

Laut ADFC (Allgemeiner Deutscher Fahrrad Club) nutzen \(\frac{2}{3}\) aller Deutschen ihr Fahrrad privat oder auf dem Weg zur Arbeit mindestens einmal im Monat.
In der gesamten Aufgabe sollen alle genannten Anteile als Wahrscheinlichkeiten verwendet werden.

a)

In einer repräsentativen Umfrage werden 100 zufällig ausgewählte Deutsche befragt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse:

E1: Unter den Befragten nutzen genau 70 mindestens einmal im Monat ihr Fahrrad.

E2: Unter den Befragten nutzen mindestens 70 mindestens einmal im Monat ihr Fahrrad.

E3: Unter den Befragten nutzen mindestens 60 und höchstens 70 mindestens einmal im Monat ihr Fahrrad.
  • Punkte:  8

b)

Bei Kontrollen der Polizei werden Fahrräder, die Mängel aufweisen, beanstandet. Bei diesen Prüfungen hat durchschnittlich \(\frac{1}{6}\) der Fahrräder Mängel.

Bestimmen Sie die Anzahl \(n\) der Fahrräder, die von der Polizei kontrolliert werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % mindestens ein Fahrrad mit Mängeln entdeckt wird.
  • Punkte:  6

c)

Die Nutzung des Fahrrads als regelmäßiges Verkehrsmittel auf dem Weg zur Arbeit hängt unter anderem von der Ortsgröße ab.

Stochastik, erweitertes Anforderungsniveau, 2. Aufgabe - Abbildung 1
\(^1\) Quelle: Laufende Raumbeobachtung des Bundesamtes für Bauwesen und Raumordnung (2011)
\(^2\) Fahrradmonitor des ADFC

  1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine aus der Bevölkerung zufällig ausgewählte Person aus einer Stadt mit mehr als 100.000 Einwohnern kommt und ihr Fahrrad regelmäßig als Verkehrsmittel nutzt.
  2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine aus der Bevölkerung zufällig ausgewählte Person, die angibt, ihr Fahrrad nicht regelmäßig als Verkehrsmittel zu nutzen, aus einer Großstadt mit mehr als 100.000 Einwohnern kommt.
  • Punkte:  9

d)

An dem Jedermann-Radrennen „Rund um den Stausee“ nehmen 200 Hobbyradfahrer teil. Im Ziel erhält jeder, der dort innerhalb einer vorgegebenen Zeit eintrifft, einen Einkaufsgutschein im Wert von 20 Euro.

Die Antrittsgebühr von \(x\) Euro, die jeder Teilnehmer bezahlen musste, berechnete der Veranstalter so, dass die dadurch erzielten Einnahmen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % die Kosten für die Gutscheine übersteigen. Dabei legte er als Wahrscheinlichkeit für das Ankommen eines Fahrers im Zeitlimit den Anteil \(p=0{,}25\) zugrunde, weil im letzten Jahr 25 % der Fahrer innerhalb der vorgegebenen Zeit das Ziel erreichten.

Bestimmen Sie (mit einer geeigneten Approximation), wie groß \(x\) mindestens gewesen sein muss.
  • Punkte:  9

e)

Die Einsatzleitung der Polizei vermutet, dass wegen der häufigen Kontrollen mittlerweile höchstens 10 % der Fahrräder Mängel aufweisen. Sie möchte diese Vermutung überprüfen und, falls sie richtig ist, die Kontrollen nur noch jährlich statt monatlich durchführen. An einem Morgen werden 200 Fahrräder kontrolliert.

Die Polizei hat folgende Entscheidungsregel auf einem Signifikanzniveau von \(\alpha=0{,}05\) festgelegt: Finden sich in der Stichprobe weniger als 13 Fahrräder mit Mängeln, so wird die Zahl der Kontrollen reduziert, andernfalls nicht.

  1. Bestimmen Sie die Hypothesen, die zu dieser Entscheidungsregel führten. Beschreiben Sie den Fehler 1. Art im Sachzusammenhang und begründen Sie damit die Wahl der Hypothesen aus der Sicht der Polizei.

Durch einen Irrtum wurde die Kontrolle unabhängig voneinander zweimal durchgeführt. Die beteiligten Polizisten beschließen daraufhin, die Entscheidungsregel ebenfalls zu „verdoppeln“: Finden sich in der Stichprobe von nun 400 Fahrräder weniger als 26 mit Mängeln, so wird die Zahl der Kontrollen reduziert, andernfalls nicht.

  1. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art betrug im Test aus (1) gerundet 0,032. Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art bei dem neuen Test deutlich kleiner ist.
  2. Zeigen Sie, dass gilt: \(\sigma_{400}=\sqrt2 \cdot \sigma_{200}\), wobei \(\sigma_{200}\) und \(\sigma_{400}\) die Standardabweichungen binomialverteilter Zufallsgrößen mit \(n=200\) bzw. \(n=400\) und unbekanntem \(p\) bezeichnen.
  3. Erläutern Sie, welche Auswirkung dies auf die Berechnung des Annahmebereichs der Hypothese bei Verdopplung des Stichprobenumfangs von 200 auf 400 hat, wenn weiterhin das Signifikanzniveau \(\alpha=0{,}05\) gelten soll.
  • Punkte:  20
Stochastik, erweitertes Anforderungsniveau, 2. Aufgabe - Abbildung 2
Stochastik, erweitertes Anforderungsniveau, 2. Aufgabe - Abbildung 3
Stochastik, erweitertes Anforderungsniveau, 2. Aufgabe - Abbildung 4
Stochastik, erweitertes Anforderungsniveau, 2. Aufgabe - Abbildung 5
Stochastik, erweitertes Anforderungsniveau, 2. Aufgabe - Abbildung 6
Stochastik, erweitertes Anforderungsniveau, 2. Aufgabe - Abbildung 7
Stochastik, erweitertes Anforderungsniveau, 2. Aufgabe - Abbildung 8
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