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Stochastik, grundlegendes Anforderungsniveau, 2. Aufgabe


Hinweis: Um diese Aufgabe lösen zu können, sollte man folgende Lerneinheiten bearbeitet haben: 

BernoulliverteilungLaplace-ExperimentBaumdiagrammBedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit ; Zufallsvariablen und Hypothesentests

Zugelassene Hilfsmittel: wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit), mathematische Formelsammlung, Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung

 

Aufgabe

Laut ADFC (Allgemeiner Deutscher Fahrrad Club) nutzen \(\frac{2}{3}\) aller Deutschen ihr Fahrrad privat oder auf dem Weg zur Arbeit mindestens einmal im Monat. In der gesamten Aufgabe sollen alle genannten Anteile als Wahrscheinlichkeiten verwendet werden.

a)

In einer repräsentativen Umfrage werden \(100\) zufällig ausgewählte Deutsche befragt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse:

\(E_1\): Unter den Befragten nutzen genau \(70\) mindestens einmal im Monat ihr Fahrrad.
\(E_2\): Unter den Befragten nutzen mindestens \(70\) mindestens einmal im Monat ihr Fahrrad.
\(E_3\): Unter den Befragten nutzen mindestens \(60\) und höchstens \(70\) mindestens einmal im Monat ihr Fahrrad.

  • Punkte:  8

b)

Bei Kontrollen der Polizei werden Fahrräder, die Mängel aufweisen, beanstandet. Bei diesen Prüfungen hat durchschnittlich \(\frac{1}{6}\) der Fahrräder Mängel.

Bestimmen Sie die Anzahl \(n\) der Fahrräder, die von der Polizei kontrolliert werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(90\ \%\) mindestens ein Fahrrad mit Mängeln entdeckt wird.

  • Punkte:  6

c)

Die Nutzung des Fahrrads als regelmäßiges Verkehrsmittel auf dem Weg zur Arbeit hängt unter anderem von der Ortsgröße ab.

Stochastik, grundlegendes Anforderungsniveau, 2. Aufgabe - Abbildung 1
\(^1\) Quelle: Laufende Raumbeobachtung des Bundesamtes für Bauwesen und Raumordnung (2011)
\(^2\) Fahrradmonitor des ADFC

  1. Stellen Sie den Sachverhalt in einem Baumdiagramm dar und berechnen Sie alle resultierenden Pfadwahrscheinlichkeiten
    (1. Stufe: Ortsgröße).
  2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine aus der Bevölkerung zufällig ausgewählte Person regelmäßig ein Fahrrad als Verkehrsmittel nutzt. 
  • Punkte:  13

d) 

Studien zeigen, dass Fahrradfahrer, die keinen Helm tragen, ein 4-mal so hohes Risiko für schwere Verletzungen eingehen wie Fahrradfahrer, die einen Helm tragen. Unabhängig davon reduziert sich das Unfallrisiko bei 20- bis 40-jährigen Fahrradfahrern auf \(55\ \%\) des Risikos bei 10- bis 15-jährigen Kindern.

Bestimmen Sie, um wie viel Prozent bei einem 10- bis 15-jährigen Kind, das keinen Helm trägt, das Risiko für eine schwere Verletzung höher ist als bei einem 20- bis 40-jährigen Fahrradfahrer, der einen Helm trägt.

  • Punkte:  5

e)

Die Einsatzleitung der Polizei vermutet, dass wegen der häufigen Kontrollen mittlerweile weniger als \(10\ \%\) der Fahrräder Mängel aufweisen. Sie möchte diese Vermutung überprüfen und, falls sie als richtig angenommen wird, die Kontrollen nur noch jährlich statt monatlich durchführen. An einem Morgen werden \(200\) Fahrräder kontrolliert.

  1. Auf Grundlage dieser Stichprobe soll ein aus Sicht der Polizei sinnvoller Test entworfen werden, um zu überprüfen, ob die Mängelquote wirklich unter \(10\ \%\) gesunken ist.
    Ermitteln Sie aus Sicht der Polizei geeignete Hypothesen und eine dazu passende Entscheidungsregel mit einem Signifikanzniveau von \(\alpha=0{,}05 \) und begründen Sie die Wahl der Hypothesen.
  2. Geben sie eine begründete Entscheidung an, wenn bei \(16\) der \(200\) kontrollierten Fahrräder Mängel festgestellt werden.
  3. Beschreiben Sie den Fehler 2. Art im Sachzusammenhang.
  • Punkte:  18

Stochastik, grundlegendes Anforderungsniveau, 2. Aufgabe - Abbildung 2

 

Stochastik, grundlegendes Anforderungsniveau, 2. Aufgabe - Abbildung 3

 

Stochastik, grundlegendes Anforderungsniveau, 2. Aufgabe - Abbildung 4

 

Stochastik, grundlegendes Anforderungsniveau, 2. Aufgabe - Abbildung 5

 

Stochastik, grundlegendes Anforderungsniveau, 2. Aufgabe - Abbildung 6

 

Stochastik, grundlegendes Anforderungsniveau, 2. Aufgabe - Abbildung 7

 

Stochastik, grundlegendes Anforderungsniveau, 2. Aufgabe - Abbildung 8
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