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Aufgabe 1
Dauer: 5 Minuten 2 PunkteBilden Sie die erste Ableitung der Funktion \(f\) mit \(f(x)=(2x^{2}+5x) \cdot e^{-2x}\).
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Aufgabe 2
Dauer: 5 Minuten 2 PunkteGegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=\sin(2x)\).
Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion \(F\) von \(f\) mit \(F(\pi)=7\).
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Aufgabe 3
Dauer: 5 Minuten 2 PunkteLösen Sie die Gleichung \(2e^{x}-\frac{4}{e^{x}}=0\).
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Aufgabe 4
Dauer: 10 Minuten 4 PunkteGegeben sind die Funktionen \(f\) und \(g\) mit \(f(x)=-x^{2}+3\) und \(g(x)=2x\).
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den Graphen der beiden Funktionen eingeschlossen wird.
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Aufgabe 5
Dauer: 13 Minuten 5 PunkteEine Funktion \(f\) hat folgende Eigenschaften:
(1) \(f(2)=1\)
(2) \(f'(2)=0\)
(3) \(f''(4)=0\) und \(f'''(4)\neq0\)
(4) Für \(x\longrightarrow +\infty\) und \(x\longrightarrow -\infty\) gilt \(f(x) \longrightarrow 5\).
Beschreiben Sie für jede dieser vier Eigenschaften, welche Bedeutung sie für den Graphen von \(f\) hat.
Skizzieren Sie einen möglichen Verlauf des Graphen. -
Aufgabe 6
Dauer: 10 Minuten 4 PunkteDie Gerade \(g\) verläuft durch die Punkte \(A(1|-1|3)\) und \(B(2|-3|0)\). Die Ebene \(E\) wird von \(g\) orthogonal geschnitten und enthält den Punkt \(C(4|3|-8)\).
Bestimmen Sie den Schnittpunkt \(S\) von \(g\) und \(E\).
Untersuchen Sie, ob \(S\) zwischen \(A\) und \(B\) liegt. -
Aufgabe 7
Dauer: 10 Minuten 4 PunkteGegeben sind die beiden Ebenen:
\(E_{1}:2x_{1}-2x_{2}+x_{3}=-1\) und
\(E_{2}:x=\left(\begin{array}{c}7\\ 7\\ 5\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 4\end{array}\right)\)
Zeigen Sie, dass die beiden Ebenen parallel zueinander sind.
Die Ebene \(E_3\) ist parallel zu \(E_1\) und \(E_2\) und hat von beiden Ebenen denselben Abstand.
Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene \(E_3\). -
Aufgabe 8
Dauer: 10 Minuten 4 Punkte9 Spielkarten (4 Asse, 3 Könige und 2 Damen) liegen verdeckt auf dem Tisch.
- Peter dreht 2 zufällig gewählte Karten um und lässt sie aufgedeckt liegen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
A: Es liegt kein Ass aufgedeckt auf dem Tisch.
B: Eine Dame und ein Ass liegen aufgedeckt auf dem Tisch. - Die 9 Spielkarten werden gemischt und erneut verdeckt ausgelegt. Laura dreht nun so lange Karten um und lässt sie aufgedeckt auf dem Tisch liegen, bis ein Ass erscheint. Die Zufallsvariable \(X\) gibt die Anzahl der aufgedeckten Spielkarten an.
Welche Werte kann \(X\) annehmen?
Berechnen Sie \(P(X\leq2)\).
- Peter dreht 2 zufällig gewählte Karten um und lässt sie aufgedeckt liegen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
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Aufgabe 9
Dauer: 8 Minuten 3 PunkteGibt es eine ganzrationale Funktion 4. Grades, deren Graph 3 Wendepunkte besitzt? Begründen Sie Ihre Antwort.
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Aufgabe 1
Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion \(f\) mit \(f(x)=(2x^{2}+5x) \cdot e^{-2x}\).