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Originalprüfung 2013 Pflichtteil


Im Pflichtteil sind keine Hilfsmittel zugelassen.

Aufgabe 1

Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion \(f\) mit \(f(x)=(2x^{2}+5x) \cdot e^{-2x}\).

  • Punkte:  2

Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=\sin(2x)\).

Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion \(F\) von \(f\) mit \(F(\pi)=7\).

  • Punkte:  2

Aufgabe 3

Lösen Sie die Gleichung \(2e^{x}-\frac{4}{e^{x}}=0\).

  • Punkte:  2

Aufgabe 4

Gegeben sind die Funktionen \(f\) und \(g\) mit \(f(x)=-x^{2}+3\) und \(g(x)=2x\).

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den Graphen der beiden Funktionen eingeschlossen wird.

  • Punkte:  4

Aufgabe 5

Eine Funktion \(f\) hat folgende Eigenschaften:

(1) \(f(2)=1\)

(2) \(f'(2)=0\)

(3) \(f''(4)=0\) und \(f'''(4)\neq0\)

(4) Für \(x\longrightarrow +\infty\) und \(x\longrightarrow -\infty\) gilt \(f(x) \longrightarrow 5\).

Beschreiben Sie für jede dieser vier Eigenschaften, welche Bedeutung sie für den Graphen von \(f\) hat.
Skizzieren Sie einen möglichen Verlauf des Graphen.

  • Punkte:  5

Aufgabe 6

Die Gerade \(g\) verläuft durch die Punkte \(A(1|-1|3)\) und \(B(2|-3|0)\). Die Ebene \(E\) wird von \(g\) orthogonal geschnitten und enthält den Punkt \(C(4|3|-8)\).

Bestimmen Sie den Schnittpunkt \(S\) von \(g\) und \(E\).
Untersuchen Sie, ob \(S\) zwischen \(A\) und \(B\) liegt.

  • Punkte:  4

Aufgabe 7

Gegeben sind die beiden Ebenen:

\(E_{1}:2x_{1}-2x_{2}+x_{3}=-1\) und

\(E_{2}:x=\left(\begin{array}{c}7\\ 7\\ 5\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 4\end{array}\right)\)

Zeigen Sie, dass die beiden Ebenen parallel zueinander sind.

Die Ebene \(E_3\) ist parallel zu \(E_1\) und \(E_2\) und hat von beiden Ebenen denselben Abstand.
Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene \(E_3\).

  • Punkte:  4

Aufgabe 8

9 Spielkarten (4 Asse, 3 Könige und 2 Damen) liegen verdeckt auf dem Tisch.

  1. Peter dreht 2 zufällig gewählte Karten um und lässt sie aufgedeckt liegen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
    A: Es liegt kein Ass aufgedeckt auf dem Tisch.
    B: Eine Dame und ein Ass liegen aufgedeckt auf dem Tisch.
  2. Die 9 Spielkarten werden gemischt und erneut verdeckt ausgelegt. Laura dreht nun so lange Karten um und lässt sie aufgedeckt auf dem Tisch liegen, bis ein Ass erscheint. Die Zufallsvariable \(X\) gibt die Anzahl der aufgedeckten Spielkarten an.
    Welche Werte kann \(X\) annehmen?
    Berechnen Sie \(P(X\leq2)\).
  • Punkte:  4

Aufgabe 9

Gibt es eine ganzrationale Funktion 4. Grades, deren Graph 3 Wendepunkte besitzt? Begründen Sie Ihre Antwort.

  • Punkte:  3
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