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Originalprüfung 2013 Lineare Algebra / Analytische Geometrie Aufgabe 6, LK


Aufgabe

Von einem Forstbetrieb werden auf verschiedenen Waldflächen Tannen gezogen. Dort wachsen nur Bäume, die von dem Forstbetrieb angepflanzt wurden.

Entsprechend ihrer Höhe werden die Tannen in 3 Größenklassen eingeteilt: Tannen, die weniger als einen Meter groß sind, gehören zur Größenklasse \(K\) (klein); Tannen, die mindestens einen Meter, aber weniger als 2 Meter groß sind, gehören zur Größenklasse \(M\) (mittel); Tannen, die mindestens 2 Meter groß sind, gehören zur Größenklasse \(G\) (groß).

Jeweils zu Beginn eines festen Zeitraums (Wachstumsperiode), auf den sich im Folgenden die Übergänge zwischen den 3 Größenklassen beziehen, wird eine Bestandsaufnahme durchgeführt. Die Übergangsquoten berücksichtigen, dass abgestorbene, kranke oder beschädigte Bäume im Laufe jeder Wachstumsperiode aus dem Bestand entfernt werden.

a)

Auf einer der Waldflächen erreichen von den Tannen der Größenklasse \(K\) innerhalb einer Wachstumsperiode 50 % die Größenklasse \(G\), während 30 % in der Größenklasse \(K\) verbleiben. Von den Tannen der Größenklasse \(M\) erreichen innerhalb der Wachstumsperiode 55 % die Größenklasse \(G\text{,}\) während 40 % in der Größenklasse \(M\) verbleiben. Von den Tannen der Größenklasse \(G\) sind am Ende einer Wachstumsperiode noch 98 % in der Größenklasse \(G\).

Stellen Sie dieses Wachstumsverhalten durch ein Übergangsdiagramm dar und bestimmen Sie eine Übergangsmatrix, die dieses Wachstumsverhalten beschreibt.
  • Punkte:  10

Auf einer anderen Waldfläche wird eine andere Art von Tannen gezogen. Eine Zählung ergab die folgende Übergangsmatrix \(A\) für das Übergangsverhalten zwischen den oben genannten Größenklassen innerhalb einer Wachstumsperiode.

Originalprüfung 2013 Lineare Algebra / Analytische Geometrie Aufgabe 6, LK - Abbildung 1

In Teilaufgabe b) wird angenommen, dass diese Übergangsquoten auch für die vorangegangenen und folgenden Wachstumsperioden gelten.

b)

Die Bestandsaufnahme zu Beginn einer bestimmten Wachstumsperiode ergibt 450 Tannen der Größenklasse \(K\), 4230 Tannen der Größenklasse \(M\) und 5320 Tannen der Größenklasse \(G\).

  1. Bestimmen Sie die Anzahl der Tannen in den einzelnen Größenklassen am Ende dieser Wachstumsperiode.
  2. Bestimmen Sie die Anzahl der Tannen in den einzelnen Größenklassen eine Wachstumsperiode vor dem Zeitpunkt der Bestandsaufnahme.
  3. Zeigen Sie, dass der Gesamtbestand an Tannen am Ende einer beliebigen Wachstumsperiode 95 % des Bestandes zu Beginn dieser Wachstumsperiode beträgt.
  4. Berechnen Sie, nach wie vielen Wachstumsperioden erstmals weniger als 60 % des ursprünglichen Gesamtbestandes an Tannen vorhanden sind.
  • Punkte:  18

Nun wird davon ausgegangen, dass jeweils am Ende einer Wachstumsperiode, innerhalb derer sich der Bestand zunächst gemäß der Übergangsmatrix \(A\) entwickelt hat, in jeder der 3 Größenklassen zusätzliches Nutzholz geschlagen wird.

Insgesamt werden am Ende einer Wachstumsperiode 20 % des dann vorhandenen Bestandes der Größenklasse \(K\), 30 % des dann vorhandenen Bestandes der Größenklasse \(M\) und 45 % des dann vorhandenen Bestandes der Größenklasse \(G\) abgeholzt.

Anschließend werden in der Größenklasse \(K\) so viele Tannen neu gesetzt, wie zuvor insgesamt in allen 3 Größenklassen gefällt wurden.

c)

  1. Bestimmen Sie ausgehend von einem beliebigen Bestandsvektor \(\vec{x}=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\) zu Beginn einer Wachstumsperiode, wie viele Tannen in den einzelnen Größenklassen am Ende der Wachstumsperiode nach dem Fällen und vor dem Wiederaufforsten vorhanden sind.
    [Kontrollergebnis: \(\begin{pmatrix} 0{,}2x_1 \\ 0{,}49x_1 + 0{,}385x_2 \\ 0{,}22x_2 + 0{,}5225x_3 \end{pmatrix}\)]
     
  2. Gesucht ist eine Übergangsmatrix \(C\), die den Übergang zwischen den Größenklassen \(K\), \(M\) und \(G\) innerhalb einer Wachstumsperiode unter Berücksichtigung der abschließenden Fäll- und Wiederaufforstungsarbeiten beschreibt.
    Zeigen Sie, dass \(C= \begin{pmatrix} 0{,}46 & 0{,}345 & 0{,}4275 \\ 0{,}49 & 0{,}385 & 0 \\ 0 & 0{,}22 & 0{,}5225 \end{pmatrix}\) gilt.
     
  3. Begründen Sie, dass nach der Wiederaufforstung am Ende einer Wachstumsperiode der Gesamtbestand an Tannen 95 % des Bestandes zu Beginn dieser Wachstumsperiode beträgt.
     
  4. Am Ende jeder Wachstumsperiode sollen nun nach der Wiederaufforstung noch zusätzlich Bäume der Größenklasse \(K\) gepflanzt werden, jeweils ein fester Anteil \(\alpha\) des gesamten Anfangsbestandes.
    Bestimmen Sie diesen Anteil \(\alpha\) so, dass der Gesamtbestand an Tannen im Laufe von 2 Wachstumsperioden um 10 % zunimmt.
  • Punkte:  22
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