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Originalprüfung 2013 Lineare Algebra / Analytische Geometrie Aufgabe 5, GK


Zugelassene Hilfsmittel: wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit), mathematische Formelsammlung, Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung

 

Aufgabe

In der Ebene \(\mathbb R^2\) ist die Abbildung \(\alpha \) gegeben durch die Gleichung:
\(a( \vec{x}) = \begin{pmatrix}x'_1\\x'_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}\)

a)

Das Viereck \(ABCD\) hat die Eckpunkte \(A(-1|0)\), \(B(1|0)\), \(C(3|2)\) und \(D(1|2)\).

  1. Zeigen Sie, dass das Viereck \(ABCD \) ein Parallelogramm ist.
  2. Berechnen Sie die Koordinaten der Bildpunkte \(A'\), \(B'\), \(C'\), \(D'\) und zeigen Sie, dass das Viereck \(A'B'C'D'\) ein Quadrat ist
  • Punkte:  12

b)

Gegeben sind die Geraden \(g:\vec{x} = \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\)\(r \in \mathbb R \), und \(h:\vec{x} = \begin{pmatrix}-3\\-2\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}\)\( s \in \mathbb R\).

  1. Bestimmen Sie eine Gleichung der Bildgeraden \(g'\) von \(g\) bezüglich der Abbildung \( \alpha\) und ermitteln Sie die Lagebeziehung von \(g\) und \(g'\).
  2. Bestimmen Sie eine Gleichung der Bildgeraden \(h'\) von \(h\) bezüglich der Abbildung \(\alpha\) und ermitteln Sie die Lagebeziehung von \(h\) und \(h'\).
  • Punkte:  13

c)

Zeigen Sie, dass die Abbildung \(\alpha\) die folgenden Eigenschaften besitzt:

  1. Der Punkt \(P(0|4)\) wird durch \(\alpha\) auf den Punkt \(P'(6|1)\) abgebildet.
  2. Jeder Punkt der Geraden \(k: x_1-x_2=-1\) wird durch \(\alpha\) auf sich selbst abgebildet.
  3. Jeder Punkt, der nicht auf der Geraden \(k\) liegt, wird nicht auf sich selbst abgebildet.
  4. Jede Gerade, die durch einen Punkt, der nicht auf der Geraden \(k\) liegt, und seinen Bildpunkt verläuft, ist parallel zur Geraden \(PP'\).
  • Punkte:  13

d)

Nun soll der Bildpunkt \(Q'\) des Punktes \(Q(3|0)\) geometrisch konstruiert werden.
Stellen Sie diese geometrische Konstruktion grafisch dar und erklären Sie Ihr Vorgehen.

  • Punkte:  12
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