Bessere Noten mit Duden Learnattack Jetzt kostenlos testen
 

Originalprüfung 2013 Gesamtklausur II


Analysis

Teil 1

Aufgabe 1

Geben Sie für die Funktion \(f\) mit \(f(x)=\ln(2013-x)\) den maximalen Definitionsbereich \(D\), das Verhalten von \(f\) an den Grenzen von \(D\) sowie die Schnittpunkte des Graphen von \(f\) mit den Koordinatenachsen an.

  • Punkte:  5

Aufgabe 2

Der Graph der in \(\mathbb{R}\) definierten Funktion \(f:x\longmapsto x\cdot \sin x\) verläuft durch den Koordinatenursprung. Berechnen Sie \(f''(0)\) und geben Sie das Krümmungsverhalten des Graphen von \(f\) in unmittelbarer Nähe des Koordinatenursprungs an.

Aufgabe 3

Gegeben sind die in \(\mathbb{R}\) definierten Funktionen \(g:x\longmapsto e^{-x}\) und \(h:x \longmapsto x^{3}\).

  1. Veranschaulichen Sie durch eine Skizze, dass die Graphen von \(g\) und \(h\) genau einen Schnittpunkt haben.
  2. Bestimmen Sie einen Näherungswert \(x_{1}\) für die \(x\)-Koordinate dieses Schnittpunkts, indem Sie für die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion \(d:x\longmapsto g(x)-h(x)\) den ersten Schritt des Newton-Verfahrens mit dem Startwert \(x_{0}=1\) durchführen.
  • Punkte:  6

Aufgabe 4

Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) mit Definitionsbereich \([-2;2]\). Der Graph besteht aus zwei Halbkreisen, die die Mittelpunkte \((-1|0)\) bzw. \((1|0)\) sowie jeweils den Radius 1 besitzen. Betrachtet wird die in \([-2;2]\) definierte Integralfunktion \(F:x \longmapsto \int\limits_{0}^{x} f(t)\mathrm{d}t\).

 

 - Abbildung 1
  1. Geben Sie \(F(0)\), \(F(2)\) und \(F(-2)\) an.
  2. Skizzieren Sie den Graphen von \(F\) in Abbildung 1.
  • Punkte:  5

Teil 2

Aufgabe 1

  1. Geben Sie die Gleichungen der Asymptoten von \(G_{f}\) an und zeigen Sie rechnerisch, dass \(G_{f}\) seine schräge Asymptote nicht schneidet. Zeichnen Sie die Asymptoten in Abbildung 2 ein.
  2. Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art der Extrempunkte von \(G_{f}\).
  • Punkte:  14

Aufgabe 2

Abbildung 2 legt die Vermutung nahe, dass \(G_{f}\) bezüglich des Schnittpunkts \(P(-1|-1)\) seiner Asymptoten symmetrisch ist. Zum Nachweis dieser Symmetrie von \(G_{f}\) kann die Funktion \(g\) betrachtet werden, deren Graph aus \(G_{f}\) durch Verschiebung um 1 in positive \(x\)-Richtung und um 1 in positive \(y\)-Richtung hervorgeht.

  1. Bestimmen Sie einen Funktionsterm von \(g\). Weisen Sie anschließend die Punktsymmetrie von \(G_{f}\) nach, indem Sie zeigen, dass der Graph von \(g\) punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist.
    [Teilergebnis: \(g(x)=\frac{1}{2}x+\frac{8}{x}\)]
  2. Zeigen Sie, dass
    \(\int\limits_{0}^{4}f(x)\mathrm{d}x=2+8 \cdot \ln5 \)
    gilt.
    Bestimmen Sie nun ohne weitere Integration den Wert des Integrals \(\int\limits_{-6}^{-2} f(x)\mathrm{d}x\);
    veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen durch geeignete Eintragungen in Abbildung 2.
  • Punkte:  14

Aufgabe 3

Eine vertikal stehende Getränkedose hat die Form eines geraden Zylinders. Die Lage des gemeinsamen Schwerpunkts \(S\) von Dose und enthaltener Flüssigkeit hängt von der Füllhöhe der Flüssigkeit über dem Dosenboden ab. Ist die Dose vollständig gefüllt, so beträgt die Füllhöhe 15 cm.

 

 - Abbildung 1
 

Die bisher betrachtete Funktion \(f\) gibt für \(0 \leq x \leq 15\) die Höhe von \(S\) über dem Dosenboden in Zentimetern an; dabei ist \(x\) die Füllhöhe in Zentimetern (vgl. Abbildung 3).

  1. Berechnen Sie \(f(0)\) und \(f(15)\). Interpretieren Sie die beiden Ergebnisse im Sachzusammenhang.
  2. Die zunächst leere Dose wird langsam mit Flüssigkeit gefüllt, bis die maximale Füllhöhe von 15 cm erreicht ist. Beschreiben Sie mithilfe von Abbildung 2 die Bewegung des Schwerpunkts \(S\) während des Füllvorgangs.
    Welche Bedeutung im Sachzusammenhang hat die Tatsache, dass \(x\)-Koordinate und \(y\)-Koordinate des Tiefpunkts von \(G_{f}\) übereinstimmen?
  3. Für welche Füllhöhen \(x\) liegt der Schwerpunkt \(S\) höchstens 5 cm hoch?
    Beantworten Sie diese Frage zunächst näherungsweise mithilfe von Abbildung 2 und anschließend durch Rechnung.
  • Punkte:  12

Geometrie

Aufgabe 1

Die Abbildung zeigt modellhaft einen Ausstellungspavillon, der die Form einer geraden vierseitigen Pyramide mit quadratischer Grundfläche hat und auf einer horizontalen Fläche steht. Das Dreieck \(BCS\) beschreibt im Modell die südliche Außenwand des Pavillons. Im Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit 1 m, das heißt, die Grundfläche des Pavillons hat eine Seitenlänge von 12 m.

 

 - Abbildung 1
 
  1. Geben Sie die Koordinaten des Punkts \(B\) an und bestimmen Sie das Volumen des Pavillons.
  2. Die südliche Außenwand des Pavillons liegt im Modell in einer Ebene \(E\).
    Bestimmen Sie eine Gleichung von \(E\) in Normalenform.
    [Mögliches Ergebnis: \(E:4x_{2}+3x_{3}-48=0\)]
  3. Der Innenausbau des Pavillons erfordert eine möglichst kurze, dünne Strebe zwischen dem Mittelpunkt der Grundfläche und der südlichen Außenwand.
    Ermitteln Sie, in welcher Höhe über der Grundfläche die Strebe an der Außenwand befestigt ist.

An einem Teil der südlichen Außenwand sind Solarmodule flächenbündig montiert. Die Solarmodule bedecken im Modell eine dreieckige Fläche, deren Eckpunkte die Spitze \(S\) sowie die Mittelpunkte der Kanten \([SB]\) und \([SC]\) sind.

  1. Ermitteln Sie den Inhalt der von den Solarmodulen bedeckten Fläche.
  2. Die von Solarmodulen abgegebene elektrische Leistung hängt unter anderem von der Größe ihres Neigungswinkels gegen die Horizontale ab. Die Tabelle gibt den Anteil der abgegebenen Leistung an der maximal möglichen Leistung in Abhängigkeit von der Größe des Neigungswinkels an.
    Schätzen Sie diesen Anteil für die Solarmodule des Pavillons – nach Berechnung des Neigungswinkels – unter Verwendung der Tabelle ab.

 

 - Abbildung 1
  • Punkte:  19

Aufgabe 2

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Geraden

\(g:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}8\\ 1\\ 7\end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 2\end{array}\right);\quad \lambda \in \mathbb{R}\) und

\(h:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ -9\end{array}\right)+\mu \cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 4\end{array}\right);\quad \mu \in \mathbb{R}\)

gegeben. Die Geraden \(g\) und \(h\) schneiden sich im Punkt \(T\).

  1. Bestimmen Sie die Koordinaten von \(T\).
    [Ergebnis: \(T(2|-1|3)\)]
  2. Geben Sie die Koordinaten zweier Punkte \(P\) und \(Q\) an, die auf \(g\) liegen und von \(T\) gleich weit entfernt sind.
  3. Zwei Punkte \(U\) und \(V\) der Geraden \(h\) bilden zusammen mit \(P\) und \(Q\) das Rechteck \(PUQV\).
    Beschreiben Sie einen Weg zur Ermittlung der Koordinaten von \(U\) und \(V\).
  • Punkte:  10

Stochastik

Aufgabe 1

In einer Großstadt steht die Wahl des Oberbürgermeisters bevor. 12 % der Wahlberechtigten sind Jungwähler, d. h. Personen im Alter von 18 bis 24 Jahren. Vor Beginn des Wahlkampfs wird eine repräsentative Umfrage unter den Wahlberechtigten durchgeführt. Der Umfrage zufolge haben sich 44 % der befragten Wahlberechtigten bereits für einen Kandidaten entschieden. Jeder siebte derjenigen Befragten, die sich noch nicht für einen Kandidaten entschieden haben, ist Jungwähler.

Betrachtet werden folgende Ereignisse:

J: „Eine aus den Befragten zufällig ausgewählte Person ist Jungwähler.“

K: „Eine aus den Befragten zufällig ausgewählte Person hat sich bereits für einen Kandidaten entschieden.“

  1. Erstellen Sie zu dem beschriebenen Sachzusammenhang eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel.
  2. Zeigen Sie, dass \(P_{J}(\overline{K})>P_{\overline{J}}(\overline{K})\) gilt.
    Begründen Sie, dass es trotz der Gültigkeit dieser Ungleichung nicht sinnvoll ist, sich im Wahlkampf vorwiegend auf die Jungwähler zu konzentrieren.
  3. Der Kandidat der Partei A spricht an einem Tag während seines Wahlkampfs 48 zufällig ausgewählte Wahlberechtigte an.
    Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich darunter genau 6 Jungwähler befinden.
  • Punkte:  11

Aufgabe 2

Der Umfrage zufolge hätte der Kandidat der Partei A etwa 50 % aller Stimmen erhalten, wenn die Wahl zum Zeitpunkt der Befragung stattgefunden hätte. Ein Erfolg im ersten Wahlgang, für den mehr als 50 % aller Stimmen erforderlich sind, ist demnach fraglich. Deshalb rät die von der Partei A eingesetzte Wahlkampfberaterin in der Endphase des Wahlkampfs zu einer zusätzlichen Kampagne. Der Schatzmeister der Partei A möchte die hohen Kosten, die mit einer zusätzlichen Kampagne verbunden wären, jedoch möglichst vermeiden.

  1. Um zu einer Entscheidung über die Durchführung einer zusätzlichen Kampagne zu gelangen, soll die Nullhypothese „Der Kandidat der Partei A würde gegenwärtig höchstens 50 % aller Stimmen erhalten“ mithilfe einer Stichprobe von 200 Wahlberechtigten auf einem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden.
    Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel.
  2. Begründen Sie, dass die Wahl der Nullhypothese für den beschriebenen Test im Einklang mit dem Anliegen der Wahlkampfberaterin steht, einen Erfolg bereits im ersten Wahlgang zu erreichen.
  • Punkte:  10

Aufgabe 3

Nach der Wahl darf die Partei A in einem Ausschuss 3 Sitze besetzen. Von den 8 Stadträtinnen und 4 Stadträten der Partei A, die Interesse an einem Sitz in diesem Ausschuss äußern, werden 3 Personen per Losentscheid als Ausschussmitglieder bestimmt.

Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der weiblichen Ausschussmitglieder der Partei A. Abbildung 1 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\) mit \(P(X=0)=\frac{1}{55}\) und \(P(X=3)=\frac{14}{55}\).

 

 - Abbildung 1
 
 - Abbildung 1
 
  1. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten \(P(X=1)\) und \(P(X=2)\).
    [Ergebnis: \(P(x=1)=\frac{12}{55};\ P(x=2)=\frac{28}{55}\)]
  2. Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz der Zufallsgröße \(X\).
    [Ergebnis: \(\text{E}(X)=2;\,\text{Var}(X)=\frac{6}{11}\)]
  3. Abbildung 2 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße \(Y\) mit den Parametern \(n=3\) und \(p=\frac{2}{3}\). Zeigen Sie rechnerisch, dass \(Y\) den gleichen Erwartungswert wie die Zufallsgröße \(X\), aber eine größere Varianz als \(X\) besitzt.
    Erläutern Sie, woran man durch Vergleich der Abbildungen 1 und 2 erkennen kann, dass \(\text{Var}(Y)>\text{Var}(X)\) gilt. 

 

  • Punkte:  11
Registriere dich, um den vollen Inhalt zu sehen!
Deine Vorteile
  • Bessere Noten mit über 15.000 Lerninhalten in 9 Fächern
  • Originalklassenarbeiten, Musterlösungen und Übungen
  • NEU: Persönliche WhatsApp-Nachhilfe

VERSTÄNDLICH

PREISWERT

ZEITSPAREND

Next

Weitere Mathethemen findest du hier

Wähle deine Klassenstufe

Weitere Klassenarbeiten findest du hier