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Originalprüfung 2013 Analytische Geometrie/Stochastik Wahlteil, Aufgabe B2


Aufgabe 1

In einem würfelförmigen Ausstellungsraum mit der Kantenlänge 8 m ist ein dreieckiges Segeltuch aufgespannt. Es ist im Punkt \(F\) sowie in den Kantenmitten \(M_1\) und \(M_2\) befestigt (s. Abbildung). Es wird angenommen, dass das Segeltuch nicht durchhängt. In einem Koordinatensystem stellen die Punkte \(A(8|0|0)\), \(C(0|8|0)\) und \(H(0|0|8)\) die entsprechenden Ecken des Raumes dar.

Originalprüfung 2013 Analytische Geometrie/Stochastik Wahlteil, Aufgabe B2 - Abbildung 1

a)

Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene \(S\), in der das Segeltuch liegt.
Zeigen Sie, dass das Segeltuch die Form eines gleichschenkligen Dreiecks hat.
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Segeltuchs.
Welchen Abstand hat das Segeltuch von der Ecke \(E\)?
(Teilergebnis: \(S:2x_{1}-x_{2}+2x_{3}=24\))

  • Punkte:  6

b)

Auf der Diagonale \(AC\) steht eine 6 m hohe Stange senkrecht auf dem Boden. Das obere Ende der Stange berührt das Segeltuch.
In welchem Punkt befindet sich das untere Ende der Stange?

  • Punkte:  3

Aufgabe 2

Auf 2 Glücksrädern befinden sich jeweils 6 gleich große Felder. Bei jedem Spiel werden die Räder einmal in Drehung versetzt. Sie laufen dann unabhängig voneinander aus und bleiben so stehen, dass von jedem Rad genau ein Feld im Rahmen sichtbar ist.

Originalprüfung 2013 Analytische Geometrie/Stochastik Wahlteil, Aufgabe B2 - Abbildung 2

Zunächst werden die Räder als ideal angenommen.

Bei einem Einsatz von 0,20 € sind folgende Auszahlungen vorgesehen:

Stern – Stern  2,00 €
Diamant – Diamant  0,85 €
Kleeblatt – Kleeblatt  0,20 €

In allen anderen Fällen wird nichts ausgezahlt.

a)

Weisen Sie nach, dass das Spiel fair ist.

Nun möchte der Veranstalter auf lange Sicht pro Spiel 5 Cent Gewinn erzielen. Dazu soll der Auszahlungsbetrag für „Diamant – Diamant“ geändert werden.
Berechnen Sie diesen neuen Auszahlungsbetrag.

  • Punkte:  3

b)

Es besteht der Verdacht, dass die Wahrscheinlichkeit \(p\) für „Stern – Stern“ geringer als \(\frac{1}{36}\) ist. Daher soll ein Test mit 500 Spielen durchgeführt werden.
Formulieren Sie die Entscheidungsregel für die Nullhypothese \(H_{0}:p\geq \frac{1}{36}\), wenn die Irrtumswahrscheinlichkeit höchstens 5 % betragen soll.

  • Punkte:  3
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