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Originalprüfung 2013 Analytische Geometrie/Stochastik Wahlteil, Aufgabe B1


Aufgabe 1

Ein Würfel besitzt die Eckpunkte \(O(0|0|0)\), \(P(6|0|0)\), \(Q[0|0|0)\) und \(R(0|0|6)\).

Gegeben ist außerdem die Ebene \(E:3x_{2}+x_{3}=8\).

a)

Stellen Sie den Würfel und die Ebene \(E\) in einem Koordinatensystem dar.
Berechnen Sie den Winkel, den die Ebene \(E\) mit der \(x_1x_2\)-Ebene einschließt.
Bestimmen Sie den Abstand von \(E\) zur \(x_1\)-Achse.

  • Punkte:  5

b)

Die Ebene \(E\) gehört zu einer Ebenenschar. Diese Schar ist gegeben durch:
\(E_{a}:3x_{2}+x_{3}=a\ \ ;a \in \mathbb{R}\)

Welche Lage haben die Ebenen der Schar zueinander?
Für welche Werte von \(a\) hat der Punkt \(S(6|6|6)\) den Abstand \(\sqrt{10}\) von der Ebene \(E_a\)?
Für welche Werte von \(a\) hat die Ebene \(E_a\) gemeinsame Punkte mit dem Würfel?

  • Punkte:  6

Aufgabe 2

Bei einer Lotterie sind 10 % der Lose Gewinnlose. Jemand kauft 3 Lose.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind darunter mindestens 2 Gewinnlose?
Wie viele Lose hätte man mindestens kaufen müssen, damit die Wahrscheinlichkeit für mindestens 2 Gewinnlose über 50 % liegt?

  • Punkte:  4
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