• Aufgabe 1

    41 Minuten 17 Punkte

    a)

    1. Bestimmen Sie in Abhängigkeit von \(a\) die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen der Funktion \(f_a(x)=(a^2x + a) \cdot e^{-ax}\) mit den Koordinatenachsen.
    2. Ermitteln Sie in Abhängigkeit von \(a\) die Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte der Funktion \(f_a\).
      [Zur Kontrolle: \(f'_a=-a^3 x e^{-ax};\ f''_a=a^3e^{-ax}(ax-1)\)]  
    3. Begründen Sie, dass die Funktion \(f_a\) ein globales Maximum besitzt.

  • Aufgabe 2

    17 Minuten 7 Punkte

    b)

    In a) (2) ergibt sich der Wendepunkt \(W_a \left( \left. \frac{1}{a} \right| \frac{2a}{e} \right)\) für die Funktion \(f_a\).
    Weisen Sie nach, dass die Wendetangente \(g_a\) im Punkt \(W_a\) mit den positiven Koordinatenachsen eine Fläche einschließt, deren Inhalt unabhängig vom Parameter \(a\) ist.
    [Zur Kontrolle: \(g_a(x)= -\frac{a^2}{e}x+\frac{3a}{e};\quad x \in \mathbb{R}\)]

  • Aufgabe 3

    29 Minuten 12 Punkte

    c)

    1. Bestimmen Sie mithilfe von Integrationsverfahren eine Stammfunktion \(F_a\) der Funktion \(f_a\).
      [Zur Kontrolle: Die Funktion \(F_a\) mit der Gleichung
      \(F_a(x)=-(ax+2)e^{-ax};\quad x \in \mathbb{R}\)
      ist eine mögliche Stammfunktion.]
    2. Der Punkt \(W_a\) ist wie in b) definiert und der Punkt \(H_a(0|a)\) ist ein Hochpunkt der Funktion \(f_a\). Der Punkt \(O\) sei der Ursprung des Koordinatensystems.
      Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die im I. Quadranten von dem Graphen der Funktion \(f_a\) und den Ursprungsgeraden \(OH_a\) und \(OW_a\) eingeschlossen wird. 

  • Aufgabe 4

    34 Minuten 14 Punkte

    d)

    1. Man betrachtet die Funktion \(f_1\) der Schar, das heißt, es gilt
      \(f_1(x)=(x+1)e^{-x};\quad x \in \mathbb{R}\)
      Weisen Sie nach: Für einen Punkt \(P(u|f_1(u))\) des Graphen \(f_1\) ist die Ursprungsgerade \(OP\) genau dann orthogonal zur Tangente in \(P\) an den Graphen von \(f_1\), wenn \(e^{2u}-u-1=0\) gilt.
    2. Gegeben ist die Funktion \(h\) mit der Gleichung
      \(h(x)=e^{2x}-x-1;\quad x \in \mathbb{R}\)
      Zeigen Sie, dass die Funktion \(h\) für \(x<-\ln \sqrt 2\) streng monoton fallend und für \(x>-\ln \sqrt 2\) streng monoton steigend ist.
    3. Begründen Sie, dass die Funktion \(h\) im Intervall \(\left] -\infty; - \ln( \sqrt 2 ) \right]\) einen Vorzeichenwechsel besitzt.
    4. Beweisen Sie: Es gibt genau 2 Punkte auf dem Graphen von \(f_1\), welche die Orthogonalitätsbedingung aus d) (1) erfüllen.