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Originalprüfung 2013 Analysis Aufgabe 3, LK


Aufgabe

Gegeben ist eine Schar von Funktionen \(f_a\) mit der Gleichung

\(f_a(x)=(a^2x+a) \cdot e^{-ax};\quad x \in \mathbb{R}\),

wobei \(a\) eine positive reelle Zahl ist.

Der Graph der Funktion \(f_1\) wird in der Abbildung dargestellt.

Originalprüfung 2013 Analysis Aufgabe 3, LK - Abbildung 1

a)

  1. Bestimmen Sie in Abhängigkeit von \(a\) die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen der Funktion \(f_a\) mit den Koordinatenachsen.
  2. Ermitteln Sie in Abhängigkeit von \(a\) die Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte der Funktion \(f_a\).
    [Zur Kontrolle: \(f'_a=-a^3 x e^{-ax};\ f''_a=a^3e^{-ax}(ax-1)\)]  
  3. Begründen Sie, dass die Funktion \(f_a\) ein globales Maximum besitzt.
  • Punkte:  17

b)

In a) (2) ergibt sich der Wendepunkt \(W_a \left( \left. \frac{1}{a} \right| \frac{2a}{e} \right)\) für die Funktion \(f_a\).
Weisen Sie nach, dass die Wendetangente \(g_a\) im Punkt \(W_a\) mit den positiven Koordinatenachsen eine Fläche einschließt, deren Inhalt unabhängig vom Parameter \(a\) ist.
[Zur Kontrolle: \(g_a(x)= -\frac{a^2}{e}x+\frac{3a}{e};\quad x \in \mathbb{R}\)]

  • Punkte:  7

c)

  1. Bestimmen Sie mithilfe von Integrationsverfahren eine Stammfunktion \(F_a\) der Funktion \(f_a\).
    [Zur Kontrolle: Die Funktion \(F_a\) mit der Gleichung
    \(F_a(x)=-(ax+2)e^{-ax};\quad x \in \mathbb{R}\)
    ist eine mögliche Stammfunktion.]
  2. Der Punkt \(W_a\) ist wie in b) definiert und der Punkt \(H_a(0|a)\) ist ein Hochpunkt der Funktion \(f_a\). Der Punkt \(O\) sei der Ursprung des Koordinatensystems.
    Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die im I. Quadranten von dem Graphen der Funktion \(f_a\) und den Ursprungsgeraden \(OH_a\) und \(OW_a\) eingeschlossen wird. 
  • Punkte:  12

d)

  1. Man betrachtet die Funktion \(f_1\) der Schar, das heißt, es gilt
    \(f_1(x)=(x+1)e^{-x};\quad x \in \mathbb{R}\)
    Weisen Sie nach: Für einen Punkt \(P(u|f_1(u))\) des Graphen \(f_1\) ist die Ursprungsgerade \(OP\) genau dann orthogonal zur Tangente in \(P\) an den Graphen von \(f_1\), wenn \(e^{2u}-u-1=0\) gilt.
  2. Gegeben ist die Funktion \(h\) mit der Gleichung
    \(h(x)=e^{2x}-x-1;\quad x \in \mathbb{R}\)
    Zeigen Sie, dass die Funktion \(h\) für \(x<-\ln \sqrt 2\) streng monoton fallend und für \(x>-\ln \sqrt 2\) streng monoton steigend ist.
  3. Begründen Sie, dass die Funktion \(h\) im Intervall \(\left] -\infty; - \ln( \sqrt 2 ) \right]\) einen Vorzeichenwechsel besitzt.
  4. Beweisen Sie: Es gibt genau 2 Punkte auf dem Graphen von \(f_1\), welche die Orthogonalitätsbedingung aus d) (1) erfüllen.
[Hinweis: Ohne Begründung darf benutzt werden, dass jede streng monotone Funktion höchstens eine Nullstelle besitzt.]
Die Veröffentlichung der Originalprüfung erfolgt mit freundlicher Genehmigung des jeweiligen Kultusministeriums.
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