Originalprüfung 2013 Analysis Aufgabe 3, LK

Aufgabe

Gegeben ist eine Schar von Funktionen \(f_a\) mit der Gleichung

\(f_a(x)=(a^2x+a) \cdot e^{-ax};\quad x \in \mathbb{R}\),

wobei \(a\) eine positive reelle Zahl ist.

Der Graph der Funktion \(f_1\) wird in der Abbildung dargestellt.

b)

In a) (2) ergibt sich der Wendepunkt \(W_a \left( \left. \frac{1}{a} \right| \frac{2a}{e} \right)\) für die Funktion \(f_a\).
Weisen Sie nach, dass die Wendetangente \(g_a\) im Punkt \(W_a\) mit den positiven Koordinatenachsen eine Fläche einschließt, deren Inhalt unabhängig vom Parameter \(a\) ist.
[Zur Kontrolle: \(g_a(x)= -\frac{a^2}{e}x+\frac{3a}{e};\quad x \in \mathbb{R}\)]

d)

1. Man betrachtet die Funktion \(f_1\) der Schar, das heißt, es gilt
   \(f_1(x)=(x+1)e^{-x};\quad x \in \mathbb{R}\)
   Weisen Sie nach: Für einen Punkt \(P(u|f_1(u))\) des Graphen \(f_1\) ist die Ursprungsgerade \(OP\) genau dann orthogonal zur Tangente in \(P\) an den Graphen von \(f_1\), wenn \(e^{2u}-u-1=0\) gilt.
2. Gegeben ist die Funktion \(h\) mit der Gleichung
   \(h(x)=e^{2x}-x-1;\quad x \in \mathbb{R}\)
   Zeigen Sie, dass die Funktion \(h\) für \(x<-\ln \sqrt 2\) streng monoton fallend und für \(x>-\ln \sqrt 2\) streng monoton steigend ist.
3. Begründen Sie, dass die Funktion \(h\) im Intervall \(\left] -\infty; - \ln( \sqrt 2 ) \right]\) einen Vorzeichenwechsel besitzt.
4. Beweisen Sie: Es gibt genau 2 Punkte auf dem Graphen von \(f_1\), welche die Orthogonalitätsbedingung aus d) (1) erfüllen.