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Originalprüfung 2013 Analysis Aufgabe 3, GK


Zugelassene Hilfsmittel: wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit), mathematische Formelsammlung, Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung

 

Aufgabe

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit der Gleichung \(f(x)=x^3 + 3x^2\)\(x \in \mathbb R\).
Der Graph der Funktion \( f\) wird in der Abbildung dargestellt.

a)

  1. Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion \(f\).
  2. Berechnen Sie die Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte der Funktion \( f\).
  • Punkte:  13

b)

Man betrachtet die Verschiebung, welche den Wendepunkt \(W(-1|2)\) der Funktion \(f\) auf den Ursprung des Koordinatensystems abbildet.

  1. Zeigen Sie rechnerisch: Durch die genannte Verschiebung wird der Graph der Funktion \(f\) auf den Graphen der Funktion \(h\) mit der Gleichung \(h(x)=x^3-3x\), \(x \in \mathbb R\), abgebildet.
  2. Begründen Sie nun, dass der Graph der Funktion \(f\) punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt \(W(-1|2)\) ist.
  • Punkte:  8

c)

  1. Die Graphen der Funktionen \(f\) und \(h\) schließen eine Fläche ein. Berechnen Sie deren Inhalt.
  2. Es sei \(p\) die Parallele zur \(x\)-Achse durch den Wendepunkt \(W(-1|2)\) der Funktion \(f\).
    Bestimmen Sie (zum Beispiel mithilfe von b) (1)) den Inhalt der Fläche, die von dem Graphen der Funktion \(f\) und der Geraden \(p\) eingeschlossen wird.
  • Punkte:  14

d)

Für eine beliebige positive reelle Zahl \(a\) ist die Funktion \(f_a\) mit der Gleichung \( f_a(x)=x^3 + ax^2\), \(x \in \mathbb R\), gegeben. Für \(a=3\) erhält man z. B. die zuvor betrachtete Funktion \(f\).

  1. Es sei \(w_a\) die Tangente im Wendepunkt \(W_a\) der Funktion \(f_a\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(w_a\) in Abhängigkeit von \( a\).
    [Zur Kontrolle: \(\: w_a(x)= -\frac{1}{3}a^2x-\frac{1}{27}a^3\), \(x \in \mathbb R \)]
  2. Die Tangente \(w_a\) schließt im III. Quadranten eine Fläche mit den Koordinatenachsen ein.
    Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche in Abhängigkeit von \(a\).

Originalprüfung 2013 Analysis Aufgabe 3, GK - Abbildung 1

  • Punkte:  15
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