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Originalprüfung 2013 Analysis Aufgabe 2, GK


Zugelassene Hilfsmittel: wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit), mathematische Formelsammlung, Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung

 

Aufgabe

In einen BMX-Parcours wird eine Sprungschanze eingebaut, deren seitliches Profil durch den Graphen der Funktion \(f\) mit der Gleichung

\(f(x)=-\frac{1}{50}x^3 + \frac{3}{4}x;\quad -8 \leq x \leq 0\)

gegeben ist. (Die Funktion \(f\) ist für alle \(x\in \mathbb R\) definiert, wird aber nur für \(-8 \leq x \leq 0\) zur Modellierung verwendet.) Dabei werden sowohl \(x\) als auch \(f(x)\) als Maßzahlen zur Einheit \(1\,\text{m}\) aufgefasst. Der Funktionsgraph von \(f\) ist in Abbildung 1 dargestellt.

Die Sprungschanze wird ausgehend vom Startpunkt \(S\) von links nach rechts durchfahren und so eingebaut, dass der Absprungpunkt \( A(0|0)\) auf dem Niveau des Erdbodens liegt, das in der Seitenansicht durch die \(x\)-Achse festgelegt ist.

 
Originalprüfung 2013 Analysis Aufgabe 2, GK - Abbildung 1

a)

  1. Berechnen Sie die Höhe \(y_s\) des Startpunktes \(S(-8|y_s)\) über dem Erdboden.
  2. Der Funktionsgraph von \(f\) schneidet die \(x\)-Achse im Punkt \(A(0|0)\) und in einem weiteren Punkt \(B\).
    Berechnen Sie die Koordinaten dieses Punktes \(B\).
    [Zur Kontrolle: \(B \left( -\frac{5}{2} \sqrt{6} \middle| 0 \right)\)]
  3. Die durchschnittliche Steigung der Sprungschanze zwischen dem Startpunkt \(S\) und dem Absprungpunkt \(A\) wird mit \(-0{,}53\) angegeben.
    Prüfen Sie diese Angabe und zeigen Sie, dass der angegebene Durchschnittswert auch als Steigung in einem Punkt des Sprungschanzenprofils vorkommt.
    Erklären Sie, warum der angegebene Durchschnittswert der Steigung nur wenig über den Verlauf der Sprungschanze aussagt.
  • Punkte:  16

b)

  1. Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des tiefsten Punktes \(T\) des Sprungschanzenprofils.
  2. Berechnen Sie den Winkel gegen die Horizontale, unter dem die BMX-Fahrer im Punkt \(A\) die Schanze tangential verlassen. 
  • Punkte:  12

c)

In dem Bereich, in dem das Profil der Sprungschanze unterhalb des Niveaus des Erdbodens verläuft, muss Erde ausgehoben werden.

  1. Geben Sie eine Gleichung einer Stammfunktion \(F\) der Funktion \( f\) an.
  2. Berechnen Sie, wie groß das Erdvolumen ist, das bis zur Profillinie der Sprungschanze ausgehoben werden muss, wenn die Sprungschanze \(2\,\text{m}\) breit ist. 
  • Punkte:  8

d)

Um den BMX-Fahrern nach dem Sprung eine weichere Landung zu ermöglichen, soll rechts vom Punkt \(A\) im Bereich \(0 \leq x \leq 5\) ein Aufsprunghügel angelegt werden, dessen seitliches Profil durch den Graphen der ganzrationalen Funktion 3. Grades \(h\) zu modellieren ist. Dieses soll im Punkt \(A\) ohne Knick an das Profil der Sprungschanze anschließen und im Punkt \( D(5|0)\) ebenfalls ohne Knick in die waagerechte Erdoberfläche übergehen.

  1. Geben Sie die Bedingung an, die die Funktion \(h\) erfüllen muss, und leiten Sie daraus eine Gleichung dieser Funktion \(h\) her (siehe Abbildung 2).
    [Zur Kontrolle:  \(h(x)=\frac{3}{100}x^3 - \frac{3}{10}x^2 + \frac{3}{4}x \)]
  2. Bestimmen Sie die Stelle, an der der durch den Graphen der Funktion \(h\) modellierte Aufsprunghügel die betragsmäßig größte Steigung hat. 

Originalprüfung 2013 Analysis Aufgabe 2, GK - Abbildung 2

  • Punkte:  14
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