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Originalprüfung 2013 Analysis Aufgabe 1, LK


Aufgabe

Die Buche ist ein in weiten Teilen Europas heimischer Laubbaum. Ein Biologe modelliert das Höhenwachstum von Buchen durch Funktionen \(f_a\) mit der Gleichung

\(f_a(t)=a \cdot (1-e^{-0,02 \cdot t})^2 ;\quad t \geq 0\)

und dem Parameter \(a \geq 0\). (Die Funktion \(f_a\) ist für alle \(t \in \mathbb{R}\)  definiert, wird aber nur für \(t \geq 0\) zur Modellierung verwendet.) Dabei wird \(t\) als Maßzahl zur Einheit 1 Jahr, \(f_a(t)\) als Maßzahl zur Einheit \(1\ m\) aufgefasst. Der Zeitpunkt des Keimens des Buchensamens wird durch \(t=0\) festgelegt.

a)

  1. Zeigen Sie rechnerisch, dass gemäß der Modellierung durch eine Funktion  \(f_a\) die Höhe einer Buche ständig zunimmt.
  2. Bei einer \(10\) Jahre alten Buche wird eine Höhe von \(1,15\ m\) gemessen. 
    Berechnen Sie den Parameterwert von \(a\) derjenigen Funktion \(f_a\), die das Höhenwachstum dieser Buche beschreibt.
  3. Erklären Sie die Bedeutung des Parameters \(a\) für das durch die Funktion \(f_a\) beschriebene Höhenwachstum einer Buche.
    [Zur Kontrolle: \(f'_a(t)=0,04a \cdot e ^{-0,02t} \cdot ( 1-e^{-0,02t})\)]
  • Punkte:  14

Im Folgenden wird eine Buche betrachtet, deren Höhenwachstum durch die Funktion \(f\) mit der Gleichung

\(f(t)=f_{35}(t)=35 \cdot ( 1-e^{-0,02 \cdot t} );\quad t \geq 0\)

modelliert wird. Der Graph von \(f\) ist in der Abbildung 1 dargestellt.

b)

  1. Begründen Sie, dass gemäß der Modellierung die Buche nicht höher als \(35\ m\) werden kann.
  2. Zeigen Sie rechnerisch, dass die Buche zum Zeitpunkt \(t_1=50 \cdot \ln(2)\) am stärksten wächst.
    [Hinweis: In Abbildung 2 ist auch der Graph von \(f'\) dargestellt.
    Zur Kontrolle: \(f'(t)=1,4 \cdot ( e^{-0,02t} -e^{-0,04t} )\); \(f''(t)=0,028 \cdot ( e^{-0,04t} -e^{-0,02t} )\)]

Originalprüfung 2013 Analysis Aufgabe 1, LK - Abbildung 1

  • Punkte:  14

c)

In Abbildung 2 ist neben dem Graphen der Wachstumsgeschwindigkeit \(f'\) der oben genannten Buche auch der Graph der Wachstumsgeschwindigkeit \(g'\) einer zweiten Buche mit der Gleichung

\(g'(t)=1,1 \cdot ( e^{-0,02 \cdot t} -e^{-0,04 \cdot t} );\quad t \geq 0\)

dargestellt. Die zweite Buche hat an einem anderen Standort zum selben Zeitpunkt wie die erste Buche gekeimt.

  1. Begründen Sie anhand der Abbildung 2, dass die erste Buche zu jedem Zeitpunkt \(t>0\) eine größere Höhe hat als die zweite Buche.
  2. Bestimmen Sie durch Integration eine Gleichung einer Stammfunktion \(h\) von \(g'\)
    [Mögliches Ergebnis: \(h(t)=27,5 \cdot (e^{-0,05 \cdot t} -2 \cdot e^{-0,02 \cdot t} )\)]
  3. Jemand behauptet, dass die beiden Buchen im Alter von \(50\) Jahren gemäß den Modellierungen ihres Höhenwachstums einen Höhenunterschied von mindestens \(3,50\ m\) aufweisen müssten.
    Prüfen Sie, ob die Behauptung wahr ist.

Originalprüfung 2013 Analysis Aufgabe 1, LK - Abbildung 2

  • Punkte:  12

d)

Wissenschaftliche Untersuchungen haben ergeben: Bäume erreichen die Hälfte ihrer Endhöhe in der ersten Hälfte ihrer Lebenszeit, und zwar nachdem ihre Wachstumsgeschwindigkeit ihr Maximum hatte. Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass die Buche, deren Höhenwachstum durch die Funktion \(f\) modelliert wird, ein Lebensalter von \(350\) Jahren erreicht.

  1. Begründen Sie, dass es zur Vereinfachung möglich ist, von einer Endhöhe dieser Buche von \(35\ m\) auszugehen.
  2. Zeigen Sie, dass unter dieser Voraussetzung die halbe Endhöhe dieser Buche zum Zeitpunkt \(t_2=-50 \cdot \ln(1-\sqrt{0,5} )\) erreicht wird.
  3. Prüfen Sie, ob die Modellierung des Höhenwachstums dieser Buche mit den Ergebnissen der wissenschaftlichen Untersuchungen verträglich ist.
  • Punkte:  10
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