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Aufgabe 1
a)
- Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen von \(f\) im Sachzusammenhang.
- Berechnen Sie \(f(20)\) und nennen Sie die Bedeutung des Wertes im Sachzusammenhang.
- Begründen Sie, dass gemäß der Modellierung die Buche nicht höher als \(35{,}3\text{ m}\) werden kann.
Die Buche ist ein in weiten Teilen Europas heimischer Laubbaum. Eine frisch eingepflanzte kleine Buche hat eine Höhe von \(0{,}3\text{ m}\). Ein Biologe modelliert das Höhenwachstum dieser Buche aufgrund von Messungen in den ersten Jahren nach dem Pflanzen durch die Funktion \(f\) mit der Gleichung:
\(\begin{align} f(t) &= 0{,}3 + 35 \cdot ( 1-e^{-0{,}02 \cdot t})^2 \\ &= 0{,}3 + 35 \cdot (1-2\cdot e^{-0{,}02 \cdot t} + e^{-0{,}04 \cdot t});\quad t \geq 0 \\ \end{align}\)
Dabei wird \(t\) als Maßzahl zur Einheit 1 Jahr, \(f(t)\) als Maßzahl zur Einheit \(1\,\text{m}\) aufgefasst. Der Zeitpunkt der Pflanzung der kleinen Buche wird durch \(t=0 \) festgelegt. Der Graph von \(f\) ist in Abbildung 1 dargestellt.
Die Lösungsvorschläge liegen nicht in der Verantwortung des jeweiligen Kultusministeriums.