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Originalprüfung 2012 Stochastik Aufgabe 8, LK


Aufgabe

Die sogenannte Sonntagsfrage gibt an, mit welchen Prozentanteilen die einzelnen Parteien rechnen könnten, wenn diesen Sonntag Bundestagswahl wäre.

Bei der Sonntagsfrage des ZDF-Politbarometers vom 18. September 2009 ergab sich folgendes Stichprobenergebnis (befragt wurden 1352 zufällig ausgewählte Personen, repräsentativ für die wahlberechtigte Bevölkerung in Deutschland).

Originalprüfung 2012 Stochastik Aufgabe 8, LK - Abbildung 1

Im Folgenden sollen die genannten Anteile auch als Wahrscheinlichkeiten verwendet werden.

a)

Die Zufallsgröße \(X\) beschreibe die Anzahl der Wahlberechtigten, die am auf die Umfrage folgenden Sonntag die genannte Partei wählen würden.

  1. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von 100 zufällig ausgewählten wahlberechtigten Bürgern mindestens 30 die SPD wählen würden.
  2. Berechnen Sie mit der Binomialverteilung die Wahrscheinlichkeit, dass von 200 zufällig ausgewählten wahlberechtigten Bürgern mindestens 8 und höchstens 18 Personen die Grünen wählen würden.
  3. Nennen Sie eine Bedingung, die erfüllt sein muss, damit die Normalverteilung als Annäherung an die Binomialverteilung benutzt werden kann.
    Bestimmen Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit aus 2. mit der Normalverteilung.
  4. Bestimmen Sie die Anzahl der Personen, die man mindestens befragen muss, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % mindestens eine Person findet, die die CDU wählen würde.
  5. Ein Meinungsforschungsinstitut ermittelt seine Daten durch Telefonumfragen bei einer ausgewählten großen Anzahl von Personen, repräsentativ für die wahlberechtigte Bevölkerung in Deutschland. Ein Mitarbeiter befragt nacheinander 7 zufällig ausgewählte Personen dieses Personenkreises. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich genau 3 Personen unter diesen 7 befinden, die die CDU wählen würden, und diese 3 auch noch unmittelbar nacheinander befragt werden.
  • Punkte:  20

b)

Ein Wahlkampfmanager der Grünen gibt sich mit der alleinigen Nennung des Umfrageergebnisses von 10 % nicht zufrieden. Er möchte gerne die untere und obere Grenze des Intervalls angegeben bekommen, welches mit dem Umfrageergebnis verträglich ist.

Bestimmen Sie das 95 %-Konfidenzintervall für den unbekannten Anteil der Personen, die die Grünen wählen würden.

  • Punkte:  10

c)

Neun Tage nach der obigen Umfrage vom 18. September 2009 fand am 27. September 2009 die letzte Bundestagswahl statt. Das tatsächliche Wahlergebnis der FDP betrug dann 14,6 %.

Jemand behauptet: „Das Wahlergebnis wird stark durch kurz entschlossene Wähler beeinflusst. Umfragewerte vor der Wahl haben daher wenig Aussagekraft bezüglich des tatsächlichen Wahlausgangs.“

Prüfen Sie die Verträglichkeit des Umfrageergebnisses (13 %) mit dem tatsächlichen Wahlergebnis (14,6 %) und beurteilen Sie obige Behauptung bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95 %.

  • Punkte:  8

d)

Folgende Legende wurde von der Forschungsgruppe Wahlen zum Politbarometer vom 18. September 2009 veröffentlicht (Quelle: politbarometer.zdf.de).

„Die Umfragen zum Politbarometer wurden wie immer von der Mannheimer Forschungsgruppe Wahlen durchgeführt. Die Interviews wurden in der Zeit vom 15. bis 17. September 2009 bei 1352 zufällig ausgesuchten Wahlberechtigten telefonisch erhoben. Die Befragung ist repräsentativ für die wahlberechtigte Bevölkerung in ganz Deutschland. Der Fehlerbereich beträgt in einem Parteianteil von 40 % rund \(\pm3 \) Prozentpunkte und bei einem Parteianteil von 10 % rund \(\pm2\) Prozentpunkte.“

Aus den obigen Daten lässt sich für große Parteien (40 %) eine Sicherheitswahrscheinlichkeit von 97,56 % berechnen.

Ermitteln Sie aus den Daten auch für kleine Parteien (10 %) die Sicherheitswahrscheinlichkeit, die zu dem angegebenen Fehlerbereich passt. [Kontrollergebnis: 98,58 %]

Vergleichen und interpretieren Sie die beiden Ergebnisse.

  • Punkte:  12
Originalprüfung 2012 Stochastik Aufgabe 8, LK - Abbildung 2
Originalprüfung 2012 Stochastik Aufgabe 8, LK - Abbildung 3
Originalprüfung 2012 Stochastik Aufgabe 8, LK - Abbildung 4
Originalprüfung 2012 Stochastik Aufgabe 8, LK - Abbildung 5
Originalprüfung 2012 Stochastik Aufgabe 8, LK - Abbildung 6
Originalprüfung 2012 Stochastik Aufgabe 8, LK - Abbildung 7
Originalprüfung 2012 Stochastik Aufgabe 8, LK - Abbildung 8
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