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Originalprüfung 2012 Stochastik Aufgabe 8, GK


Aufgabe

Die sogenannte Sonntagsfrage gibt an, mit welchen Prozentanteilen die einzelnen Parteien rechnen können, wenn diesen Sonntag Bundestagswahl wäre.

Bei der Sonntagsfrage des ZDF-Politbarometers vom 18. September 2009 ergab sich folgendes Stichprobenergebnis (befragt wurden 1352 zufällig ausgewählte Personen, repräsentativ für die wahlberechtigte Bevölkerung in Deutschland):

Originalprüfung 2012 Stochastik Aufgabe 8, GK - Abbildung 1

Im folgenden sollen die genannten Anteile auch als Wahrscheinlichkeiten genannt werden.

a)

Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Wahlberechtigten, die die genannte Partei am auf die Umfrage folgenden Sonntag wählen würden.

  1. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von 100 zufällig ausgewählten, wahlberechtigten Bürgern mindestens 30 die SPD wählen würden.
  2. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von 200 zufällig ausgewählten wahlberechtigten Bürgern mindestens 8 und höchstens 18 Personen die Grünen wählen würden.
  3. Bestimmen Sie die Anzahl der Personen, die man mindestens befragen muss, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % mindestens eine Person findet, die die CDU wählen würde.
  4. Ein Meinungsforschungsinstitut ermittelt seine Daten durch Telefonumfragen bei einer ausgewählten großen Anzahl von Personen, repräsentativ für die wahlberechtigte Bevölkerung in Deutschland. Ein Mitarbeiter befragt nacheinander sieben zufällig ausgewählte Personen dieses Personenkreises.
  • Punkte:  16

b)

Ein Wahlkampfmanager der Grünen gibt sich mit der alleinigen Nennung des Umfrageergebnisses von 10 % nicht zufrieden. Er möchte gerne die untere und obere Grenze des Intervalls angegeben bekommen, welches mit dem Umfrageergebnis verträglich ist.

Bestimmen Sie das 95 %-Konfidenzintervall für den unbekannten Anteil der Personen, die die Grünen wählen würden.

  • Punkte:  10

c)

Neun Tage nach der obigen Umfrage vom 18. September 2009 fand am 27. September 2009 die letzte Bundestagswahl statt. Das tatsächliche Wahlergebnis der FDP betrug dann 14,6 %.
Jemand behauptet: „Das Wahlergebnis wird stark durch kurzentschlossene Wähler beeinflusst. Umfragewerte vor der Wahl haben daher wenig Aussagekraft bezüglich des tatsächlichen Wahlausgangs.“

Prüfen Sie die Verträglichkeit des Umfrageergebnisses (13 %) mit dem tatsächlichen Wahlergebnis (14,6 %) und beurteilen Sie die obige Behauptung bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95 %.

  • Punkte:  10

d)

Es wird davon ausgegangen, dass der tatsächliche Wähleranteil \(p\) der Grünen größer als 0,1 ist.

Bestimmen Sie für einen Beispielwert \(p>0{,}1\) den Umfang der Stichprobe, der bei dieser Umfrage am 18. September 2009 mindestens nötig war, um das Wahlergebnis der Grünen am folgenden Sonntag mit einer Genauigkeit von \(\pm 2\) Prozentpunkten vorherzusagen (Sicherheitswahrscheinlichkeit 90 %).

Erklären Sie, welcher Zusammenhang zwischen der Breite des Konfidenzintervalls, der zugehörigen Sicherheitswahrscheinlichkeit und dem Stichprobenumfang besteht.

  • Punkte:  14
Originalprüfung 2012 Stochastik Aufgabe 8, GK - Abbildung 2
Originalprüfung 2012 Stochastik Aufgabe 8, GK - Abbildung 3
Originalprüfung 2012 Stochastik Aufgabe 8, GK - Abbildung 4
Originalprüfung 2012 Stochastik Aufgabe 8, GK - Abbildung 5
Originalprüfung 2012 Stochastik Aufgabe 8, GK - Abbildung 6
Originalprüfung 2012 Stochastik Aufgabe 8, GK - Abbildung 7
Originalprüfung 2012 Stochastik Aufgabe 8, GK - Abbildung 8
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