Sogenannte Smartphones werden immer beliebter. Ein Sechstel aller Handybesitzer (ca. 10 Millionen) besitzt ein Smartphone. Im Folgenden sollen die genannten Anteile auch als Wahrscheinlichkeiten verwendet werden.
Aufgabe 2
Dauer:19 Minuten9 Punkte
a)
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse:
E1: Unter 100 zufällig ausgewählten Handybesitzern haben genau 15 ein Smartphone.
E2: Unter 200 zufällig ausgewählten Handybesitzern besitzen mindestens 25 ein Smartphone.
E3: Unter 200 zufällig ausgewählten Handybesitzern besitzen mindestens 32 und höchstens 38 ein Smartphone.
Aufgabe 3
Dauer:17 Minuten8 Punkte
b)
In der Produktion eines führenden Herstellers werden 4 % aller Geräte fehlerhaft hergestellt. Es wird einfachheitshalber angenommen, dass die Fehler zufällig und unabhängig voneinander auftreten.
Ein Kunde kauft ein Smartphone von diesem Hersteller. Ist dieses defekt, erhält er im Austausch ein neues Gerät. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, zweimal nacheinander ein defektes Smartphone zu erhalten.
Bestimmen Sie die Anzahl von Geräten, die der laufenden Produktion mindestens entnommen werden müssen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % mindestens ein fehlerhaftes Gerät zu erhalten.
Aufgabe 4
Dauer:21 Minuten10 Punkte
c)
Durch eine Produktionsumstellung konnte der Fehleranteil auf 2 % gesenkt werden. Aus einer Charge, die vor zwei Wochen produziert wurde, wurde eine Stichprobe von 200 Smartphones ausgewählt. Unter diesen 200 Smartphones befinden sich genau 6 defekte.
Entscheiden Sie mithilfe der 1-\(\sigma\)-Umgebung um den Erwartungswert, ob die Maschinen vor zwei Wochen vermutlich noch mit 4 % oder bereits eher mit nur 2 % Fehleranteil produziert haben.
Aufgabe 5
Dauer:25 Minuten12 Punkte
d)
Da der Anteil der defekten Smartphones mit 2 % immer noch zu hoch ist, wird nun ein Prüfgerät eingesetzt, das defekte Smartphones mit einer Wahrscheinlichkeit von 99 % erkennt, allerdings auch 0,1 % der funktionsfähigen Smartphones als defekt einstuft.
Stellen Sie die Situation mithilfe eines vollständigen Baumdiagramms grafisch dar.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Smartphone von dem Prüfgerät als defekt eingestuft wird.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Smartphone in Wirklichkeit nicht defekt ist, obwohl das Prüfgerät es als defekt eingestuft hat.
Aufgabe 6
Dauer:23 Minuten11 Punkte
e)
Die Herstellerfirma rechtfertigte die letzte Preiserhöhung mit der Behauptung, dass nach einer Verbesserung der Produktion nun maximal 1 % aller Smartphones defekt sind. Ein Großhändler, der von der Preiserhöhung betroffen ist, bezweifelt diese Behauptung und möchte sie daher mithilfe eines Hypothesentests überprüfen. Er entnimmt dazu der Lieferung zufällig eine Stichprobe von 1.000 Stück und testet die Hypothese \(H_0:p \leq 0{,}01\).
Ermitteln Sie eine Entscheidungsregel für die angegebene Hypothese auf Grundlage der Stichprobe mit einem Signifikanzniveau von \(\alpha=0{,}05\).
Beschreiben Sie den Fehler erster und zweiter Art im Sachzusammenhang.
