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Originalprüfung 2012 Lineare Algebra / Analytische Geometrie Aufgabe 5, LK


Aufgabe

Gegeben sind im \( \mathbb{R}^3\) die Punkte \(A\,(3|0|2)\), \(B\,(1|-2|2)\) und \(C\,(5|-2|2)\) sowie die Abbildung \(f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) mit der Gleichung:

\( f(\vec x) = \left(\begin{array}{ccc} -0{,}6 & 0{,}8 & 0 \\ \phantom{-}0{,}8 & 0{,}6 & 0 \\ 0 & 0\phantom{0,} & 1 \end{array}\right) \cdot \vec x\)

a)

  1. Zeigen Sie, dass das Dreieck \(ABC\) rechtwinklig ist.
  2. Berechnen Sie bezüglich der Abbildung \(f\) die Koordinaten der Bildpunkte \(A^\prime\), \(B^\prime\) und \(C^\prime\) zu den Punkten \(A\), \(B \) und \(C \) und untersuchen Sie, ob das Bilddreieck \(A^\prime B^\prime C^\prime\) ebenfalls rechtwinklig ist.
  3. Prüfen Sie, ob die Dreiecke \(ABC\) sowie \(A^\prime B^\prime C^\prime\) bezüglich einer Grundebene des Koordinatensystems eine besondere Lage einnehmen.
  • Punkte:  14

b)

Gegeben sei die Ebene \(E^*:2x_1-x_2 = 0 \) des \(\mathbb{R}^3\).

Weisen Sie nach, dass jeder Punkt der Ebene \(E^*\) durch die Abbildung \(f\) auf sich selbst abgebildet wird.

  • Punkte:  7

c)

  1. Zeigen Sie, dass \( \lambda_1 = 1\) und \(\lambda_2 = -1\) Eigenwerte der Abbildung \(f\) sind. Bestimmen Sie sämtliche Eigenvektoren zu diesen Eigenwerten.
  2. Untersuchen Sie, welche Zusammenhänge zwischen der Ebene \(E^*\) und den Eigenvektoren der Abbildung \(f\) bestehen.
  • Punkte:  14

d)

Gegeben sei eine Ebene \(E\) im \( \mathbb{R}^3\), welche den Ursprung enthält. Eine lineare Abbildung \(f_E:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\) heißt Spiegelung an der Ebene \(E\) genau dann, wenn Folgendes gilt:

  1. Falls der Punkt \(P\) in \(E\) liegt und \({P}^\prime\) ein Bildpunkt ist, gilt \(P=P'\).
  2. Falls der Punkt \(P\) nicht in \(E\) liegt, sind \(P\) und \(P'\) verschieden und die Gerade \(PP'\) ist orthogonal zu \(E\).
  3. Für die Abstände \(d(P;E)\) und \(d(P';E)\) der Punkte \(P\) bzw. \({P}^\prime\) von der Ebene gilt: \(d(P';E)=d(P;E)\).

Begründen Sie, dass die Abbildung \(f\) eine Spiegelung an einer Ebene im \(\mathbb{R}^3\) ist.

  • Punkte:  14

e)

Begründen Sie: Wenn \(f_E\) eine Spiegelung im \(\mathbb{R}^3\) an einer Ebene \(E\), die den Ursprung enthält, ist, dann hat \(f_E\) den Eigenwert \(\lambda = 1\) mit zwei linear unabhängigen Eigenvektoren.

  • Punkte:  4
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