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Originalprüfung 2012 Lineare Algebra / Analytische Geometrie Aufgabe 5, GK


Aufgabe

Gegeben sind im Raum \(\mathbb{R}^3\) die Punkte \(A(3|0|2)\), \(B(1|{-2}|2)\) und \(C(5|{-2}|2)\) sowie die Abbildung  \(f:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3\) mit der Gleichung:

    \(f(\vec{x})= \begin{pmatrix} -0{,}6 & 0{,}8 & 0 \\ 0{,}8 & 0{,}6 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} \)  

a)

  1. Zeigen Sie, dass das Dreieck \(ABC\) rechtwinklig und gleichschenklig ist.
  2. Berechnen Sie bezüglich der Abbildung \(f\) die Koordinaten der Bildpunkte \(A'\), \(B'\) und \(C'\)  zu den Punkten \(A\), \(B\) und \(C\) und untersuchen Sie, ob das Bilddreieck \(A'B'C'\) ebenfalls rechtwinklig und gleichschenklig ist.
  3. Prüfen Sie, ob die Dreiecke \(ABC\) sowie \(A'B'C'\) bezüglich einer Grundebene des Koordinatensystems eine besondere Lage einnehmen.
  • Punkte:  20

b)

Gegeben sei die Ebene \(E: 2x_1 - x_2 = 0\) des  \(\mathbb{R}^3\).

  1. Begründen Sie, dass die Ebene \(E\) durch den Ursprung des Koordinatensystems verläuft.
  2. Zeigen Sie, dass die Vektoren \(\overrightarrow{v_1}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{v_2}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) zwei nicht kollineare Richtungsvektoren der Ebene \(E\) sind.
  3. Bestimmen Sie \(f(\overrightarrow{v_1})\) und \(f(\overrightarrow{v_2})\).
  4. Weisen Sie nach, dass jeder Punkt der Ebene \(E\) durch die Abbildung \(f\) auf sich selbst abgebildet wird.
  • Punkte:  17

c)

Gegeben sei im \(\mathbb{R}^3\) die Gerade \(g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + a \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, a \in \mathbb{R}\).

  1. Bestimmen Sie das Bild \(g'\) der Geraden \(g\) bzgl. der Abbildung \(f\) und untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden \(g\) und \(g'\).
  2. Sei \(h\) eine beliebige zu \(g\) parallel verlaufende Gerade und sei \(h'\) das Bild von \(h\) bzgl. der Abbildung \(f\).
    Untersuchen Sie die gegenseitige Lage von \(h\) und ihrer Bildgeraden \(h'\).
  • Punkte:  13
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