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Originalprüfung 2012 Lineare Algebra / Analytische Geometrie Aufgabe 4, GK


Aufgabe

Bei der Kunstausstellung „Licht und Schatten“ ist in der Mitte der Ausstellungshalle eine gerade, 1 m hohe Pyramide mit quadratischer Grundfläche von 1 m Seitenlänge ausgestellt.

Die Grundfläche der Pyramide befindet sich (gehalten von vier Stützen) einen Meter über dem Boden der Halle. Die quaderförmige Halle selbst ist 5 m hoch und hat eine quadratische Grundfläche von 9 m Seitenlänge.

In einem kartesischen Koordinatensystem mit Ursprung in einer Hallenecke und entlang der Hallenkanten verlaufenden Koordinatenachsen hat die Grundfläche der Pyramide die Eckpunkte \(A (5|4|1)\), \(B (5|5|1)\), \(C (4|5|1)\) und \(D (4|4|1)\).

Die Gegebenheiten sind in der Abbildung 1 dargestellt.

Originalprüfung 2012 Lineare Algebra / Analytische Geometrie Aufgabe 4, GK - Abbildung 1

a)

  1. Zeigen Sie, dass die Pyramidenspitze die Koordinaten \(S(4{,}5|4{,}5|2)\) hat.
  2. Berechnen Sie die Seitenlängen des Dreiecks \(ABS\).
  3. Bestimmen Sie das Volumen und den Oberflächeninhalt der Pyramide.
  • Punkte:  14

b)

Die Pyramide wird von einer an der rechten Hallenwand in der Position \(L(4{,}5|9|1)\) befestigten, punktförmigen Lichtquelle angestrahlt (siehe Abbildung 1). Der Pyramidenschatten auf der gegenüberliegenden Hallenwand \(y = 0\) hat die Form eines Dreiecks.

Ermitteln Sie die Koordinaten der Eckpunkte dieses Schattendreiecks. Zeigen Sie, dass es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, und berechnen Sie seinen Flächeninhalt.

  • Punkte:  12

c)

Nachts werden die Kunstwerke in der Halle durch Laser-Lichtschranken gesichert.

Einer der Laserstrahlen ist auf den Punkt \(M(4{,}75|4{,}5|1{,}5)\) des Dreiecks \(ABS\) gerichtet.

  1. Zeigen Sie, dass \(M\) der Mittelpunkt der Seitenhalbierenden der Dreiecksseite \(\overline{AB} \) ist.
  2. Der Laserstrahl trifft im Punkt \(M\) orthogonal auf die Seitenfläche \(ABS\) der Pyramide. Zeigen Sie, dass der Laserstrahl in Richtung des Vektors \(\vec{l}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) verläuft, und ermitteln Sie die Koordinaten der Position der Laser-Lichtquelle an der Wand der Halle.
  • Punkte:  16

d)

Eine weitere Laser-Lichtquelle ist so installiert, dass der von ihr ausgehende rotierende Laserstrahl den innerhalb der Halle liegenden Bereich der Ebene

\(E^* :\vec{x}=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}, r, s \in \mathbb{R}\)

überstreicht. Der Laserstrahl trifft unter anderem die Punkte \(F (3|0|5)\) und \(G(3|9|5)\).

  1. Zeichnen Sie in die Abbildung 1 die Spur des rotierenden Laserstrahls auf Wänden, Boden und Decke der Halle ein, d. h. alle Punkte der Wände, des Bodens und der Decke der Halle, die zur Ebene \(E^*\) gehören.
  2. Die Ebene \(E^*\) und die Ebene \(E_{BCS} :2y+z=11\), in der die Seitenfläche \(BCS\) der Pyramide liegt, schneiden sich in einer Schnittgeraden \(g\). Entscheiden Sie, ob die Pyramidenkante \(\overline{BS} \) auf dieser Schnittgeraden \(g\) liegt.

Für die Zeichnung in Teilaufgabe d) 1.:

 

Originalprüfung 2012 Lineare Algebra / Analytische Geometrie Aufgabe 4, GK - Abbildung 2
  • Punkte:  8
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