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Originalprüfung 2012 Analytische Geometrie II Wahlteil 1


Zugelassene Hilfsmittel: GTR und Formelsammlung

Aufgabe

Die Ebene \(E\) enthält die Punkte \(A(6|1|0)\)\(B(2|3|0)\) und \(P(3|0|2{,}5)\).

a)

Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von \(E\).
Stellen Sie die Ebene \(E\) in einem Koordinatensystem dar.
Unter welchem Winkel schneidet \(E\) die \(x_1\)-Achse?
(Teilergebnis: \(E:x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=8\))

  • Punkte:  4

b)

Zeigen Sie, dass das Dreieck \(ABP\) gleichschenklig ist.

Das Viereck \(ABCD\) ist ein Rechteck mit Diagonalenschnittpunkt \(P\).
Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte \(C\) und \(D\).

Es gibt senkrechte Pyramiden mit der Grundfläche \(ABCD\) und Höhe 12.
Berechnen Sie die Koordinaten der Spitzen dieser Pyramiden.

  • Punkte:  6

c)

Welche Punkte der \(x_1\)-Achse bilden jeweils mit \(A\) und \(B\) ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse \(AB\)?

  • Punkte:  3

d)

Gegeben ist ein senkrechter Kegel mit Grundkreismittelpunkt \(M(0|0|0)\), Grundkreisradius 4 und Spitze \(S(0|0|0)\).
Untersuchen Sie, ob der Punkt \(R(2|2|3)\) innerhalb des Kegels liegt.

  • Punkte:  3
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