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Originalprüfung 2012 Analysis Wahlteil 1


Zugelassene Hilfsmittel: GTR und Formelsammlung

Aufgabe

Originalprüfung 2012 Analysis Wahlteil 1 - Abbildung 1

Die Abbildung zeigt den Verlauf einer Umgehungsstraße zur Entlastung der Ortsdurchfahrt \(AB\) einer Gemeinde.
Das Gemeindegebiet ist kreisförmig mit dem Mittelpunkt \(M\) und dem Radius 1,5 km.
Die Umgehungsstraße verläuft durch die Punkte \(A\) und \(B\) und wird beschrieben durch die Funktion \(f\) mit:
\(f(x)=-0{,}1x^{3}-0{,}3x^{2}+0{,}4x+3{,}2\)

1 LE entspricht 1 km.

a)

Welche Koordinaten hat der nördlichste Punkt der Umgehungsstraße?
Wie weit ist dieser Punkt vom Ortsmittelpunkt \(M\) entfernt?

Die Umgehungsstraße beschreibt eine Linkskurve und eine Rechtskurve.
Bestimmen Sie den Punkt, in dem diese beiden Abschnitte ineinander übergehen.
Zeigen Sie, dass die Umgehungsstraße im Punkt \(A\) ohne Knick in die Ortsdurchfahrt einmündet.

  • Punkte:  6

b)

Zur Bewertung von Grundstücken wird die Fläche zwischen der Ortsdurchfahrt und der Umgehungsstraße vermessen.
Wie viel Prozent dieser Fläche liegen außerhalb des Gemeindegebiets?

  • Punkte:  4

c)

Im Punkt \(P(1{,}5|3)\) befindet sich eine Windkraftanlage. Ein Fahrzeug fährt von \(B\) aus auf der Umgehungsstraße.
Von welchem Punkt der Umgehungsstraße aus sieht der Fahrer die Windkraftanlage genau in Fahrtrichtung vor sich?

  • Punkte:  4

d)

In welchem Punkt der Umgehungsstraße fährt ein Fahrzeug parallel zur Ortsdurchfahrt \(AB\)?
Welchen Abstand hat ein Fahrzeug auf der Umgehungsstraße höchstens von der Ortsdurchfahrt?

  • Punkte:  4
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