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Originalprüfung 2012 Analysis Wahlteil 3


Zugelassene Hilfsmittel: GTR und Formelsammlung

Aufgabe

Ein Medikament kann mithilfe einer Spritze oder durch Tropfinfusion verabreicht werden.

a)

Bei Verabreichung des Medikaments mithilfe einer Spritze wird die Wirkstoffmenge im Blut des Patienten beschrieben durch die Funktion \(f\) mit:

\(\begin{align*} f(t)=130\cdot \left(e^{0{,}2t}-e^{0{,}8t}\right);\quad 0 \leq t \leq 24 \end{align*}\)
(\(t\) in Stunden nach der Injektion, \(f(t)\) in mg)

Skizzieren Sie den Graphen von \(f\).

Das Medikament wirkt nur dann, wenn mindestens 36 mg des Wirkstoffs im Blut vorhanden sind.
Bestimmen Sie den Zeitraum, in dem das Medikament wirkt.

Zu welchen Zeitpunkten nimmt die Wirkstoffmenge im Blut am stärksten zu bzw. ab?
Berechnen Sie die mittlere Wirkstoffmenge im Blut während der ersten 12 Stunden.

  • Punkte:  7

b)

Wenn das Medikament stattdessen durch Tropfinfusion zugeführt wird, lässt sich die Wirkstoffmenge im Blut beschreiben durch die Funktion \(g\) mit:

\(\begin{align*} g(t)=80\cdot \left(1-e^{0,05t}\right);\quad t \geq 0 \end{align*}\)
(\(t\) in Minuten seit Infusionsbeginn, \(g(t)\) in mg)

Welche Wirkstoffmenge wird sich langfristig im Blut befinden?
Zeigen Sie, dass die Wirkstoffmenge im Blut ständig zunimmt.
Zu welchem Zeitpunkt beträgt die momentane Änderungsrate der Wirkstoffmenge im Blut \(1\,\frac{\text{mg}}{\text{min}}\)?
In welchem 15-Minuten-Zeitraum ändert sich die Wirkstoffmenge um 30 mg?

  • Punkte:  7

c)

Geben Sie eine Differenzialgleichung des beschränkten Wachstums an, die von der Funktion \(g\) erfüllt wird.

Bei der Tropfinfusion wird dem Patienten pro Minute eine konstante Wirkstoffmenge zugeführt. Die Abbaurate ist dabei stets proportional zur Wirkstoffmenge im Blut.

Wie groß ist die konstante Zufuhr der Wirkstoffmenge pro Minute?
Welche Wirkstoffmenge müsste man pro Minute zuführen, damit sich langfristig 90 mg im Blut befinden?

  • Punkte:  4
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