Bessere Noten mit Duden Learnattack Jetzt kostenlos testen
 

Originalprüfung 2012 Analysis Aufgabe 3, LK


Aufgabe

Gegeben ist eine Schar von Funktionen \(f_a\) durch \(f_a(x) = \frac{x}{a} \cdot e^{ax},\, x \in \mathbb{R}\), mit einer positiven reellen Zahl \(a\). Der Graph der Funktion \(f_{0{,}5}\) ist hier dargestellt.

Originalprüfung 2012 Analysis Aufgabe 3, LK - Abbildung 1

a)

  1. Bestimmen Sie die Nullstellen und die Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte der Funktion \(f_a\) in Abhängigkeit von \(a\).
  2. Begründen Sie, dass \(T_a \left(-\frac{1}{a}\left.\right \vert –a^{-2}e^{-1}\right)\) ein globaler Tiefpunkt der Funktion \(f_a\) ist.                                        
  • Punkte:  17

b)

In a) 1. ergibt sich der Wendepunkt \(W_a\left(-\frac{2}{a}\left.\right \vert –2a^{-2}e^{-2}\right)\).

  1. Zeigen Sie: Für die Länge \(l(a)\) der Strecke \( \overline{T_aW_a}\) gilt \((l(a))^2 = \frac{1}{a^2} + \frac{k}{a^2}\) mit \(k = (e-2)^2e^{-4}\).
  2. Untersuchen Sie, ob die Länge \(l(a)\) der Strecke \(\overline{T_aW_a}\) extremal werden kann.
    [Hinweis: Ohne Beweis kann benutzt werden: \(l(a)\) ist genau dann extremal, wenn \((l(a))^2\) extremal ist.]
  • Punkte:  9

c)

  1. Begründen Sie mithilfe von Integrationsverfahren, dass die Funktion \(F_a\) mit der Gleichung \(F_a(x) = \frac{1}{a^2}e^{ax}\cdot\left(x-\frac{1}{a}\right),\, x \in \mathbb{R}\), eine Stammfunktion der Funktion \(f_a\) ist.
  2. Der Graph der Funktion \(f_a\) schließt mit der \(x\)-Achse im III. Quadranten eine unbegrenzte Fläche ein. Zeigen Sie, dass diese Fläche den Inhalt \(I_a = \frac{1}{a^3}\) besitzt.
  • Punkte:  14

d)

  1. Es sei \(h\) die Funktion mit der Gleichung \(h(x) = e^x-x,\, x \in \mathbb{R}\).
    Beweisen Sie: Im Intervall \(]0;\infty[\) ist die Funktion \(h\) streng monoton steigend und es gilt \(h(x) \geq 1\) für alle \(x \geq 0\).
  2. Begründen Sie mithilfe von \(d) (1)\): Die Normalparabel \(p\) mit der Gleichung \(p(x) = x^2;\, x \in \mathbb{R}\) schneidet den Graphen der Funktion \(f_a\) nur im Ursprung.
  • Punkte:  10
Die Veröffentlichung der Originalprüfung erfolgt mit freundlicher Genehmigung des jeweiligen Kultusministeriums.
Registriere dich, um den vollen Inhalt zu sehen!

VERSTÄNDLICH

PREISWERT

ZEITSPAREND

Weitere Mathethemen findest du hier

Wähle deine Klassenstufe

Weitere Abiturprüfungen findest du hier