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Originalprüfung 2012 Analysis Aufgabe 3, GK


Aufgabe

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit der Gleichung \(f(x)=3x \cdot e ^{-x^2},\, x \in \mathbb{R}\).

Der Graph von \(f\) ist hier dargestellt.

Originalprüfung 2012 Analysis Aufgabe 3, GK - Abbildung 1

a)

  1. Weisen Sie nach, dass der Graph von \(f\) symmetrisch zum Ursprung \(O\) ist.
  2. Ermitteln Sie die Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte der Funktion \(f\). [Zur Kontrolle: \(f'(x)=(1-2x^2) \cdot 3e^{-x^2}\)]
  • Punkte:  9

b)

  1. Zeigen Sie, dass die Funktion \(F\) mit der Gleichung \(F(x)=- \frac{3}{2}e^{-x^2},\, x \in \mathbb{R}\) eine Stammfunktion der Funktion \(f\) ist.
  2. In a) 2. ergibt sich, dass der Punkt \(H\left( 0{,}5 \sqrt{2}\left| 1{,}5 \sqrt{ 2 }e^{-0{,}5}\right. \right)\) ein Hochpunkt der Funktion \(f\) ist. Es kann vorausgesetzt werden, dass die Ursprungsgerade \(OH\) den Graphen der Funktion \(f\) im I. Quadranten nur in den Punkten \(O\) und \(H\) schneidet. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von dem Graphen von \(f\) und der Ursprungsgeraden \(OH\) im I. Quadranten eingeschlossen wird.
  • Punkte:  9

c)

Im Punkt \(A(1|f(1))\) bzw. im Punkt \(B(-1|f(-1))\) wird jeweils die Tangente \(t_A\) bzw. die Tangente \(t_B\) an den Graphen von \(f\) gelegt.

  1. Bestimmen Sie eine Gleichung der beiden Tangenten \(t_A\) und \(t_B\).
  2. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der beiden Tangenten \(t_A\) und \(t_B\) mit den Koordinatenachsen. [Zur Kontrolle: Die Tangente \(t_A\) schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten \(A_x(2|0)\) und \(A_y(0| \frac{6}{e})\).]

Die Schnittpunkte aus c) 2. ergeben ein Viereck.

  1. Erstellen Sie eine geeignete Skizze.
  2. Begründen Sie, dass das genannte Viereck eine Raute ist.
  3. Berechnen Sie den Flächeninhalt des genannten Vierecks.
  • Punkte:  17

d)

Es sei \(h: x \longmapsto h(x),\, x \in \mathbb{R}\) eine zweimal differenzierbare Funktion mit \(h(x)>0\) für alle \(x>0\) und \(h(0)=0\).
Man wählt für \(u>0\) den Punkt \(P_u(u|h(u))\) auf dem Graphen der Funktion \(h\). Der Punkt \(Q_u\) hat die Koordinaten \((u|0)\), und man betrachtet das Dreieck \(OQ_uP_u\), wobei \(O\) der Ursprung ist.

  1. Erstellen Sie eine geeignete Skizze.
  2. Begründen Sie, dass das Dreieck \(OQ_uP_u\) den Flächeninhalt \(A(u)=\frac{1}{2}u \cdot h(u),\, u>0\), besitzt.
  3. Zeigen Sie: Wenn \(u_E \) eine Extremstelle der Funktion mit der Gleichung \(A(u)= \frac{1}{2}u \cdot h(u),\, u>0\) ist, so gilt \(h'(u_E)=-\frac{h(u_E)}{u_E}\).
    Zeigen Sie weiter: Gilt zusätzlich die Aussage \(h'(u_E)+ \frac{1}{2}u_E \cdot h''(u_E)<0\), so ist \(A(u_E)\) ein lokales Maximum der Funktion \(A\).
  4. Es sei \(f\) die in der Aufgabenstellung definierte Funktion mit der Gleichung \(f(x)=3x \cdot e{-x^2},\, x \in \mathbb{R}\).
    Im I. Quadranten spannen der Ursprung \(O\) und die Punkte \(P(a|f(a))\) und \(Q(a|0)\) für \(a>0\) ein Dreieck auf.
    Untersuchen Sie (z. B. mithilfe von d) 3.), ob ein \(a>0\) existiert, für das das Dreieck \(OQP\) einen maximalen Flächeninhalt besitzt.
  • Punkte:  15
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