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Originalprüfung 2012 Analysis Aufgabe 2, GK


Aufgabe

Erhöhte Ozonkonzentrationen können beim Menschen Reizung der Atemwege, Husten, Kopfschmerzen und Atembeschwerden bis hin zu Einschränkungen der Lungenfunktion und Lungenkrankheiten hervorrufen. Ihr Ausmaß wird hauptsächlich durch die Aufenthaltsdauer in der ozonbelasteten Luft bestimmt. Befindlichkeitsstörungen wie Reizerscheinungen an Augen und Schleimhäuten werden vor allem durch Begleitstoffe des Ozons (im Sommersmog) hervorgerufen.

In einer Prognose für den kommenden Tag wird die Ozonkonzentration in einer deutschen Stadt zwischen 7 Uhr \((t = 0)\) und 21 Uhr \((t = 14)\) durch die Funktion \(f\) mit der Funktionsgleichung
\(f(t)=0{,}06 \cdot (0{,}25t^4 - 10{,}6t^3 + 101{,}2t^2)+55;\quad 0 \leq t \leq 14\)
und in einer ländlichen Region für denselben Zeitraum durch die Funktion \(g\) modelliert. (Die Funktion \(f\) ist für alle  \(t \in \mathbb{R}\) definiert, wird aber nur für \(0 \leq t \leq 14\) zur Modellierung verwendet.)

[\(t\) in Stunden; \(f(t), g(t)\) in  \(\frac{\mu \text{g}}{\text{m}^3}\)]

Die Graphen von \(f\) und \(g\) sind in der Abbildung dargestellt.

[t-Achse: 1 LE entspricht 1 Stunde;\(f(t)\)-, \(g(t)\)-Achse: 1 LE entspricht \(1\,\frac{\mu \text{g}}{\text{m}^3}\).]

a)

  1. Vergleichen Sie die Graphen von \(f\) und \(g\) im gegebenen Sachzusammenhang.
  2. Geben Sie die Ozonkonzentrationen in der Stadt zu den Zeitpunkten 7 Uhr und 21 Uhr nach dem Prognosemodell an.
  3. Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die höchste Ozonkonzentration in der Stadt prognostiziert wird, und berechnen Sie die höchste Ozonkonzentration.
Originalprüfung 2012 Analysis Aufgabe 2, GK - Abbildung 1
  • Punkte:  18

b)

  1. Ermitteln Sie die Zeitpunkte, an denen die Ozonkonzentration in der Stadt am stärksten zu- und am stärksten abnimmt.
  2. Erklären Sie die Bedeutung des Ausdrucks \(\frac{1}{8} \cdot \int\limits_{a}^{a+8} f(t)\mathrm{d}t\), wobei \(0 \leq a \leq 6\) ist, im Sachzusammenhang.
  3. Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung einer Stammfunktion von \(f\) und berechnen Sie \(\frac{1}{8} \cdot \int\limits_{0}^{8} f(t)\mathrm{d}t\).
  4. Begründen Sie, dass die Fortsetzung der Funktion \(f\) auf das Intervall \([0; 24]\) zur Prognose der Ozonkonzentration nicht geeignet ist.
  • Punkte:  24

c)

Ein Prognosemodell aus der Schweiz zur Berechnung der maximalen Ozonkonzentration des folgenden Tages lautet:

\(O_\text m=0,25 \cdot O_\text h + 5,5 \cdot T_\text m -40\)

\(O_\text m\): Maßzahl der maximalen Ozonkonzentration (in \(\frac{\mu \text{g}}{\text{m}^3}\)), die für den morgigen Tag prognostiziert wird.

\(O_\text h\): Maßzahl der maximalen Ozonkonzentration (in \(\frac{\mu \text{g}}{\text{m}^3}\)) am heutigen Tag.

\(T_\text m\): Maßzahl der maximalen Temperatur (in \(°C\)), die für den morgigen Tag prognostiziert wird.

Für den morgigen Tag wird eine Höchsttemperatur von 28 °C vorhergesagt.

  1. Bestimmen Sie, für welche heutige Ozonkonzentration nach dem Schweizer Modell am nächsten Tag eine Ozonkonzentration von \(180\,\frac{\mu \text{g}}{\text{m}^3}\) vorausgesagt wird.
  2. Die „Ozon-Alarmschwelle“ wird bei einer Konzentration von \(240\,\frac{\mu \text{g}}{\text{m}^3}\) erreicht. Heute wurde eine maximale Ozonkonzentration von  \(60\,\frac{\mu \text{g}}{\text{m}^3}\) gemessen. Untersuchen Sie, welche Tageshöchsttemperatur für den nächsten Tag prognostiziert werden müsste, damit nach dem Schweizer Prognosemodell morgen ein Erreichen der „Alarmschwelle“ möglich wäre.
  • Punkte:  8
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