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Originalprüfung 2012 Analysis Aufgabe 1, GK


Aufgabe

Bei einem medizinischen Test leert eine Versuchsperson ein Glas Wein in einem Zug. Anschließend wird die zeitliche Änderungsrate der Blutalkoholkonzentration (in Promille pro Minute) aufgezeichnet. Diese wird im hier verwendeten Modell durch eine Funktion \(f'\) mit der Gleichung \(f'(t)= \frac{1}{60}e^{ \frac{-1}{20}t}-\frac{1}{600}\) beschrieben. Dabei ist t die Zeit in Minuten, die seit der Alkoholaufnahme vergangen ist. (Die Funktion \(f'\) ist für alle \(t \in \mathbb{R}\) definiert, aber nur für \(0 \leq t \leq 140 \) zur Modellierung geeignet. Beispielsweise bedeutet \(f'(t)=0{,}01\) eine zeitliche Änderungsrate der Blutalkoholkonzentration von 0,01 Promille pro Minute.)

In der Abbildung 1 ist der Graph der Funktion \(f'\) dargestellt.

 

Originalprüfung 2012 Analysis Aufgabe 1, GK - Abbildung 1

a)

  1. Berechnen Sie \(f' (0) \) und \(f' (140)\), ermitten Sie das Monotonieverhalten der Funktion \(f'\) und zeigen Sie, dass \(t_0=20 \ln 10\) die einzige Nullstelle von \(f'\) ist.
  2. Beschreiben Sie anhand des Graphen von \(f'\) den zeitlichen Verlauf der Blutalkoholkonzentration der Versuchsperson.
  • Punkte:  17

b)

Wenn die Versuchsperson vor dem Leeren des Glases noch keinen Alkohol im Blut hatte, wird die Blutalkoholkonzentration (in Promille) im verwendeten Modell während der ersten 140 Minuten nach der Alkoholaufnahme durch die Funktion \(f\) mit der Gleichung \(f(t)=-\frac{1}{3}e^{- \frac{1}{20}t}-\frac{1}{600}t+\frac{1}{3}\)  beschrieben.

  1. Weisen Sie die Richtigkeit dieser Aussage nach.
  2. Ermitteln Sie die höchste Blutalkoholkonzentration der Versuchsperson nach dem Leeren des Glases.
  3. Berechnen Sie die Blutalkoholkonzentration der Versuchsperson 140 Minuten nach dem Leeren des Glases.
  • Punkte:  16

c)

Aus biologischen Gründen wird nach 140 Minuten die Blutalkoholkonzentration der Versuchsperson durch die Funktion \(f\) nicht mehr richtig beschrieben. Für die Modellierung besser geeignet ist die an der Stelle \(t = 140\) zusammengesetzte Funktion \(h\) mit der Gleichung

\(h(t)=\begin{cases}f(t), 0 \leq t \leq 140 \\ g(t), t>140; \end{cases}\);

wobei \(g(t)=u \cdot e^{-v \cdot t}\) mit \( u \approx 1{,}01356 , v \approx 0{,}01657\) gilt (siehe Abbildung 2).

 

Originalprüfung 2012 Analysis Aufgabe 1, GK - Abbildung 2
  1. Berechnen Sie, nach wie viel Minuten in diesem Modell die Blutalkoholkonzentration erstmals unter 0,01 Promille gesunken ist.
  2. Begründen Sie, warum die Beschreibung der Blutalkoholkonzentration durch die Funktion f nicht für beliebige Zeiten \(t > 140\) möglich ist. Begründen Sie, warum im Gegensatz dazu die Modellierung durch die Funktion h für \(t > 140\) sinnvoller ist.
  3. Beurteilen Sie, ob die in der Abbildung 3 dargestellte Funktion \(k'\) zu einer alternativen Modellierung der Änderungsrate der Blutalkoholkonzentration prinzipiell geeignet ist.

 

Originalprüfung 2012 Analysis Aufgabe 1, GK - Abbildung 3
  • Punkte:  17
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