Die Ähnlichkeitssätze beim Dreieck sind eine Art Erweiterung der Kongruenzsätze. So wie die Kongruenzsätze Bedingungen dafür angeben, dass zwei Dreiecke kongruent bzw. deckungsgleich sind, sagen die Ähnlichkeitssätze, wann zwei Dreiecke ähnlich sind.

 

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie

  1. in zwei Winkeln übereinstimmen (der dritte Winkel ist dann wegen des Winkelsummensatzes ebenfalls gleich):
  2. entsprechende Seiten im gleichen Verhältnis stehen:
  3. sie im Verhältnis zweier Seiten und dem Zwischenwinkel übereinstimmen:
  4. sie im Verhältnis zweier Seiten und dem Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen:

 

Beweis zu 1.:
Schiebe die beiden Dreiecke so ineinander, dass A1 auf A liegt und \(\overline{A_1B_1}\) auf \(\overline{AB}\).

 

Da \(\alpha = \alpha _1\), liegt jetzt auch \(\overline{A_1C_1}\) auf \(\overline{AC}\). Da \(\beta = \beta _1\), ist \(\overline{BC}\parallel\overline{B_1C_1}\).

Somit bilden die Dreiecke eine Strahlensatzfigur; d. h. sie sind ähnlich.

Die übrigen Beweise verlaufen ganz ähnlich.

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