{"id":785,"date":"2015-10-05T12:07:30","date_gmt":"2015-10-05T10:07:30","guid":{"rendered":"https:\/\/learnattack.de\/journal\/?p=785"},"modified":"2025-04-15T11:26:24","modified_gmt":"2025-04-15T09:26:24","slug":"integralrechnung-wie-du-sie-einfach-und-sicher-anwendest","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/learnattack.de\/journal\/integralrechnung-wie-du-sie-einfach-und-sicher-anwendest\/","title":{"rendered":"Integralrechnung \u2013 wie du sie einfach und sicher anwendest!"},"content":{"rendered":"

Wir zeigen dir, wie du Integralrechnung einfach und sicher anwendest. Bei der Integration handelt es sich, vereinfacht ausgedr\u00fcckt, um die Umkehrung der Ableitung<\/a>. Mittels der Integralrechnung bestimmst du die Stammfunktion \\(F(x)\\), deren Ableitung gleich \\(f(x)\\) ist. Das hei\u00dft, dir ist \\(f(x)\\) gegeben und du suchst \\(F(x)\\).[toc]<\/p>\n

Voraussetzung, um eine Stammfunktion zu bestimmen, ist, dass \\(F\\) und \\(f\\) einen gemeinsamen Definitionsbereich \\(D_{f}\\) besitzen, f\u00fcr den gilt: \\(x \\in D_{f}\\).
\nEs gibt zwei Arten: das unbestimmte und das bestimmte Integral.<\/p>\n

Das unbestimmte Integral<\/h2>\n

Ein unbestimmtes Integral ist die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion f.<\/p>\n

\\(\\int_{}^{} f(x) \\,\\mathrm{d}x = \\left\\{F(x)|F'(x) = f(x)\\right\\} = F(x) + C\\)<\/p>\n

Existiert eine Stammfunktion von \\(f(x)\\), so existieren unendlich viele Stammfunktionen von \\(f(x)\\). Denn bildest du eine Stammfunktion, ist diese stets \\(F(x) + C\\). Das hei\u00dft, es existiert auch \\(F(x) \u2013 C\\), \\(F(x) + 2C\\), \\(F(x) – 2C\\) usw.<\/p>\n

Beispiel<\/h3>\n

\\(\\begin{align}f(x) &= x^{4}\\\\\\int_{}^{} f(x) \\,\\mathrm{d}x&= F_{1}(x) = \\frac{1}{5}\\cdot x^{5} + C\\\\ \\int_{}^{} f(x) \\,\\mathrm{d}x &= F_{2}(x) = \\frac{1}{5}\\cdot x^{5} – C\\end{align}\\)<\/p>\n

Das bestimmte Integral<\/h2>\n

Ein bestimmtes Integral verwendest du, um die Fl\u00e4che \\(A\\) unterhalb eines Funktionsgraphen in einem abgeschlossenen Intervall \\([a; b]\\) zu ermitteln.<\/p>\n

\\(\\begin{align}\\int_{a}^{b} f(x) \\,\\mathrm{d}x = A\\end{align}\\)<\/p>\n

Wobei \\(A\\) der Fl\u00e4che entspricht, die der Graph der Funktion \\(f\\), die x-Achse sowie die beiden Geraden \\(a\\) und \\(b\\) einschlie\u00dfen. \\(a\\) entspricht dabei der unteren und \\(b\\) der oberen Integrationsgrenze.<\/p>\n

Wie du siehst, erh\u00e4ltst du bei einem unbestimmten Integral mehrere Stammfunktion. Bei einem bestimmten Integral hingegen erh\u00e4ltst du eine reelle Zahl als Ergebnis. Dies liegt daran, dass das bestimmte Integral nur f\u00fcr die festgelegten Werte \\(a\\) und \\(b\\) gilt, w\u00e4hrend ein unbestimmtes Integral f\u00fcr eine Funktion steht.<\/p>\n

Berechnung der verschiedenen Integraltypen:<\/p>\n

Unbestimmtes Integral: Du bestimmst die Stammfunktionen + die Konstante \\(C\\).<\/p>\n

\\(\\begin{align}\\int f(x) \\,\\mathrm{d}x = F(x) +C\\end{align}\\)<\/p>\n

Bestimmtes Integral: Du bestimmst die Stammfunktion, setzt die oberen und unteren Grenzen ein und ziehst die beiden voneinander ab:<\/p>\n

\\(\\begin{align}\\int_{a}^{b} f(x) \\,\\mathrm{d}x = F(b) – F(a)\\end{align}\\)<\/p>\n

Beachte dabei, dass du stets die untere Grenze von der oberen abziehst.<\/p>\n

Beispiel<\/h3>\n

\\(\\begin{align}f(x) &= x^{4}\\\\\\int_{1}^{2}f(x)\\,\\mathrm{d}x &= F(2) -F(1)\\\\&= \\frac{1}{5}\\cdot 2^{5} – \\frac{1}{5}\\cdot 1^{5} \\\\&= \\frac{32}{5} – \\frac{1}{5} \\\\&= \\frac{31}{5} \\\\&= 6\\frac{1}{5}\\end{align} \\)<\/p>\n

Bei der Integration gibt es wie bei der Differenzierung einige Regeln, die dir die Arbeit erleichtern.<\/p>\n

Potenzregel<\/h2>\n

\\(\\begin{align}\\int_{}^{} x^n\\,\\mathrm{d}x = \\frac{1}{n + 1}\\cdot (x^{n + 1}) + C\\end{align}\\)<\/p>\n

[wobei gilt: \\(n \\in Z\\) und \\(n \\neq \u20131\\)]
\n\\(C \\in \\mathbb{R}\\)<\/p>\n

F\u00fcr \\(n = \u2013 1\\) gilt:<\/p>\n

\\(\\begin{align}\\int_{}^{} x^{-1} \\,\\mathrm{d}x = \\int_{}^{}\\frac{1}{x} \\,\\mathrm{d}x = \\ln |x| + C\\end{align}\\)<\/p>\n\\(C \\in \\mathbb{R}\\)\n

Erweiterte Potenzregel<\/h2>\n

Die erweiterte Potenzregel gilt f\u00fcr alle reellen Zahlen, wobei \\(q \\neq \u20131\\) sein muss.<\/p>\n

\\(\\begin{align}\\int_{}^{} x^q \\,\\mathrm{d}x = \\frac{1}{q + 1} \\cdot (x^{q + 1}) + C\\end{align}\\)<\/p>\n

Faktorregel<\/h2>\n

\\(\\begin{align}\\int_{}^{}k\\cdot f(x) \\,\\mathrm{d}x = k\\cdot \\int_{}^{} f(x) \\,\\mathrm{d}x \\end{align}\\)<\/p>\n

\\((k \\in \\mathbb R)\\)<\/p>\n

Konstante Faktoren bleiben beim Integrieren konstant.<\/p>\n

Summenregel<\/h2>\n

\\(\\begin{align}\\int_{}^{} [f(x) + g(x)] \\,\\mathrm{d}x &=\\int_{}^{} f(x) \\,\\mathrm{d}x + \\int_{}^{} g(x) \\,\\mathrm{d}x \\\\\\int_{}^{} [f(x) – g(x)] \\,\\mathrm{d}x &=\\int_{}^{} f(x) \\,\\mathrm{d}x – \\int_{}^{} g(x) \\,\\mathrm{d}x \\end{align}\\)<\/p>\n

Wichtige Stammfunktionen<\/h2>\n

Um dir das Integrieren zu erleichtern, ist es hilfreich, wenn du die nachfolgenden Stammfunktionen kennst.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
\\(f(x)\\)<\/strong><\/td>\n\\(F(x)\\)<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n
\\(a\\)<\/td>\n\\(a\\cdot x + C\\)<\/td>\n<\/tr>\n
\\(x^{n}\\)<\/td>\n\\(\\frac{x^{n+1}}{n+1} + C\\)<\/td>\n<\/tr>\n
\\(\\frac{1}{x}\\)<\/td>\n\\(\\ln |x| + C\\)<\/td>\n<\/tr>\n
\\(a^{x}\\)<\/td>\n\\(\\frac{a^{x}}{\\ln a} + C\\)<\/td>\n<\/tr>\n
\\(\\ln x\\)<\/td>\n\\(x \\cdot \\ln x – x + C\\)<\/td>\n<\/tr>\n
\\(\\sin x\\)<\/td>\n\\(-\\cos x + C\\)<\/td>\n<\/tr>\n
\\(\\cos x\\)<\/td>\n\\(\\sin x + C\\)<\/td>\n<\/tr>\n
\\(\\tan x\\)<\/td>\n\\(– \\ln |\\cos x| + C\\)<\/td>\n<\/tr>\n
\\(e^{x}\\)<\/td>\n\\(e^{x} + C\\)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Wir zeigen dir, wie du Integralrechnung einfach und sicher anwendest. Bei der Integration handelt es sich, vereinfacht ausgedr\u00fcckt, um die Umkehrung der Ableitung. Mittels der Integralrechnung bestimmst du die Stammfunktion , deren Ableitung gleich ist. 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