Schülerlexikon

Mit einem Fragesatz kann man eine Frage formulieren. Er schließt mit einem Fragezeichen ab. Bei der Ergänzungsfrage oder W-Frage steht am Anfang des Satzes ein Fragewort und die Antwort richtet sich nach dem Inhalt der Frage. Die am häufigsten genutzen Fragewörter lauten: Wer? Wann? Wo? Was? Warum? Wie? Wieso? / Welche Folgen? Beispiel: Wann kommst du heute Abend? ​ Die Fragen werden meist genutzt um Texte jeglicher Art zu erschließen. Textformen, für die die W-Fragen von besonders großer Relevanz sind, sind folgende: Analyse einzelner Szenen/ Personenkonstellationen in Interpretationen...

Eine Waage ist ein Messgerät zur Bestimmung der Masse . Man benutzt vor allem die folgenden vier Messprinzipien: direkter Massenvergleich , etwa durch Vergleich der von zwei Massen ausgeübten Drehmomente (z. B. Hebel - oder Balkenwaage ), Messung einer von der Masse abhängigen Kraftwirkung , z. B. der Gewichtskraft ( Kraftmesser bzw. Federwaage ), des Drucks in einer abgeschlossenen Flüssigkeits- oder Gassäule ( hydraulische bzw. pneumatische Waagen ) oder von masseabhängigen elektromechanischen Größen, Bestimmung des Auftriebs eines in eine Flüssigkeit eintauchenden Körpers ( Aräometer )...

Ein Funktionsgraph hat an einer Stelle x = x 0 eine waagerechte Tangente , wenn dort die erste Ableitung verschwindet, d. h. den Wert null hat: \(f'(x_0)=0\) . Dies kann bedeuten, dass sich dort eine Extremstelle , also ein Maximum oder Minimum der Funktion befindet, es kann dort aber auch ein Sattelpunkt vorliegen.

Wachstum ist die irreversible Massen- und Volumenzunahme einer Zelle oder eines Organismus bis zu einer genetisch festgelegten Endgröße. Wachstum beruht auf dem Aufbau körpereigener Substanz und ist daher eine Grundeigenschaft des Lebens, also gekoppelt an Stoffwechsel - und Differenzierungsvorgänge; es wird (zumindest bei mehrzelligen Organismen) hormonell gesteuert. Das Wachstum und die Wachstumsintensität sind abhängig von äußeren (v. a. Ernährung, Temperatur, bei Pflanzen auch Licht) und inneren Faktoren (z. B. Zellteilungsaktivität, Kern-Plasma-Relation). Einzellige Lebewesen hören bei...

In der Prozentrechnung benutzt man den Wachstumsfaktor q , um zwei aufeinanderfolgende Werte P 0 und P 1 einer Reihe zu vergleichen, oder auch, um bei der Zinsrechnung das Endkapital nach einer bestimmten Anzahl von Jahren mit dem ursprünglichen Grundkapital ins Verhältnis zu setzen. Der Wachstumsfaktor q berechnet sich wie folgt: \(\displaystyle q=\frac{P_1}{P_0}=1+\frac{p}{100} \) wobei p in % den Prozentsatz bezeichnet. Um im normalen Sinn von einem Wachstum sprechen zu können, muss p > 0 und dementsprechend q > 1 sein, nur dann ist P 1 größer als der vorherige Wert P 0 . Ist dagegen p < 0...

„Wahrscheinlichkeit“ ist einer der am schwersten zu definierenden mathematischen Begriffe, grundsätzlich versteht man in der Stochastik unter einer Wahrscheinlichkeit einen zahlenmäßigen Ausdruck für die relative Gewissheit, die man vom Ausgang eines zufälligen Vorgangs bzw. Zufallsexperiments hat, wobei man traditionellerweise Zahlen zwischen 0 und 1 benutzt – die Wahrscheinlichkeit 0 bedeutet, dass der entsprechende Vorgang komplett unmöglich ist, ein Vorgang mit der Wahrscheinlichkeit 1 tritt mit absoluter Sicherheit ein. Man benutzt für die Wahrscheinlichkeit normalerweise ein großes oder...

Die Wahrscheinlichkeit ist zwar ein Begriff aus der Mathematik , sie spielt aber auch in der Physik eine sehr wichtige Rolle. Im Prinzip ist jede physikalische Messung ein Zufallsexperiment , dessen Ergebnis mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit mit dem wahren Wert der gemessenen Größe übereinstimmt. Auch aus diesem Grund sollte man jedes Messergebnis zusammen mit seinen Fehlergrenzen angeben, denn sonst lässt sich nicht beurteilen, wie wahrscheinlich es ist, dass man das Ergebnis einigermaßen ernst nehmen kann. In der statistischen Begründung der Thermodynamik ist die Wahrscheinlichkeit...

Bei einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsdichte der Integrand der Verteilungsfunktion, also die Funktion „im Integral“. Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Standardnormalverteilung ist die Gauß-Funktion \(\displaystyle \varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \text{e}^{-\frac 1 2 x^2}\) .

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist neben der Statistik das zweite große Teilgebeit der Stochastik . Während sich die Statistik mit dem Durchführen von statistischen Erhebungen sowie dem Beschreiben und Beurteilen der Ergebnisse beschäftigt, behandelt die Wahrscheinlichkeitsrechnung den Umgang mit den dabei benötigten mathematischen Begriffen wie Zufallsexperiment , Zufallsvariable , Wahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeitsverteilung . Typische Fragestellungen sind: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt? Wie verteilen sich die Wahrscheinlichkeiten der...

Erklärung: Die Anzahl der günstigen Ergebnisse (Zähler) ist immer kleiner oder gleich der Anzahl der möglichen Ergebnisse (Nenner). BEISPIEL Werfen eines Würfels: \(P (\{1~ f\ddot{a}llt, 6 ~f\ddot{a}llt\}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} = P (\{1~ f\ddot{a}llt\}) + P (\{6 ~f\ddot{a}llt\}) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) BEISPIEL Werfen eines Würfels: \(P (Augenzahl < 7) = \frac{6}{6} = 1\) BEISPIEL Werfen eines Würfels: \(P (Augenzahl > 7) = \frac{0}{6} = 0\) BEISPIEL Werfen eines Würfels: \(P (keine~ 4~ oder~ 5):\) \(E = \{4; 5\}; P (E) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)...

Zusammengesetzte Zufallsexperimente \(n\) -stufiges Experiment: Zusammenfassung von \(n\) Teilexperimenten zu einem Experiment. BEISPIELE Mehrmaliges Werfen eines Würfels. Mehrmaliges Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit/ohne Zurücklegen. Unabhängige Ereignisse: Das Eintreten eines Ereignisses beeinflusst nicht das Eintreten eines anderen Ereignisses. BEISPIELE Mehrmaliges Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit Zurücklegen vor jedem erneuten Zug. Geburt eines Kindes; Merkmal Geschlecht. Bedingte Wahrscheinlichkeit von \(A\) unter der Bedingung \(B\) : Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses \(A...

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung (oder kurz Verteilung ) ist eine Funktion , die für alle möglichen Ergebnisse bzw. Ereignisse bei einem Zufallsexperiment angibt, wie wahrscheinlich sie sind. Dabei muss man zunächst einmal unterscheiden, ob es nur einzelne diskrete Ergebnisse gibt („Kopf“ und „Zahl“ oder „Augenzahl 1 bis 6“) oder man es mit einer stetigen bzw. kontinuierlichen Zufallsvariablen („Größe von 1,50 m bis 1,80 m“) zu tun hat. Dementsprechend spricht man auch von diskreten und stetigen Verteilungen . Weiterhin unterscheidet man zwischen einer Verteilung, welche die...

Währungsreform (1948), noch vor der Gründung der beiden deutschen Staaten Bundesrepublik Deutschland und DDR 1949 durchgeführte Neuordnung des Geldwesens in den drei Westzonen und in der Sowjetischen Besatzungszone. Hintergrund Seit 1947 erhielten die Westzonen nach dem Marshallplan Sachlieferungen und Kredite zum Aufbau ihrer Wirtschaft. Trotzdem drohte infolge der nationalsozialistischen Kriegswirtschaft (Rüstungs- und Kriegsfinanzierung durch Staatsanleihen und Aufblähung der Geldmenge) eine Inflation, da die Reichsmark wegen der zurückgestauten Inflation im Zweiten Weltkrieg und der...

Währungsreform (Weimarer Republik), die Neuordnung des Geldwesens eines Landes infolge einer vorausgegangenen Phase mit hoher bzw. sehr hoher allgemeiner Geldentwertung (Inflation). Kriegsfinanzierung Zwischen 1914 und 1923 wurde das Geld immer weniger wert, da die im Umlauf befindliche Geldmenge immer mehr zunahm. Das Deutsche Reich hatte den größten Teil des Ersten Weltkriegs, v.a. die Ausgaben für Rüstungsgüter, durch Anleihen (Kriegsanleihen) finanziert. Dadurch stieg die öffentliche Verschuldung (Staatsverschuldung) stark an. Die Regierung hatte gehofft, nach einem siegreichen Krieg die...

Wallenstein, Albrecht von, Herzog von Friedland, lebte von 1583 bis 1634. Der kaiserliche Feldherr und Staatsmann Wallenstein stammte aus altem böhmischem Adel und wurde protestantisch erzogen. Nach seinem Eintritt in habsburgische Dienste trat er ohne religiöse Überzeugung zum Katholizismus über. Aufstieg zum Herzog 1618 stellte er mit eigenen finanziellen Mitteln erstmals Truppen auf, ein von der Katholischen Liga unabhängiges Heer. Nach dem Sieg über Friedrich V. (*1596, †1632, Kurfürst von der Pfalz von 1610 bis 1623, als Friedrich I. 1619/1620 König von Böhmen) durch die kaiserliche Armee...

Geboren in Wasserburg (Bodensee) am 24.3.1927: Nach dem Studium der Literaturwissenschaft, Philosophie und Geschichte in Regensburg und Tübingen war Walser 1949-57 Mitarbeiter beim Süddeutschen Rundfunk. Seit 1957 lebt Walser als freier Schriftsteller am Bodensee. Chronist des Alltagsbewusstseins Mit seinem umfangreichen Werk ist Walser einer der produktivsten Autoren der Nachkriegszeit. Für die Erzählung Templones Ende aus seinem ersten Erzählband Ein Flugzeug über dem Haus (1955) erhielt er den Literaturpreis der Gruppe 47 . Sein erste Roman Ehen in Philippsburg (1957) kann als bittere...

Geboren um 1170 wahrscheinlich in Niederösterreich, gestorben um 1230 in der Nähe von Würzburg: Außerliterarische Lebenszeugnisse sind so gut wie nicht bekannt. Walther von der Vogelweide entstammte vermutlich dem niederen österreichischen Adel. Um 1188 hielt er sich als Berufsdichter am Wiener Hof der österreichischen Herzöge Leopold V. und Friedrich I. auf, die wahrscheinlich seine ersten Gönner waren. 1198 verließ er den Wiener Hof und lebte als fahrender Sänger und im Dienst verschiedener Landesfürsten u.a. Philipps von Schwaben (1202-05) und Hermanns I. von Thüringen. Er trat schließlich...

Wandalen, Vandalen, germanischer Volksstamm, der sich zu Zeiten der Völkerwanderung im heutigen Spanien und später in Nordafrika ausbreitete. Die Wandalen wurden von den Hunnen und Goten nach Westen verdrängt.In Nordafrika entstand das Wandalenreich. 455 eroberten die Wandalen unter ihrem König Geiserich (*um 389, †477) von Nordafrika aus Rom und plünderten es. Der öströmische Kaiser Justinian (*482, †565, Kaiser seit 527) zerstörte 534 das Wandalenreich.

Wannseekonferenz, am 20.1.1942 in einer Villa am Wannsee, dem Gästehaus der Sicherheitspolizei und des Sicherheitsdienstes in Berlin abgehaltene Konferenz von Spitzenvertretern der obersten Reichs- und Parteidienststellen (Parteifunktionäre und Ministerialbeamte) unter Vorsitz von Reinhard Heydrich (*1904, †1942, Chef des Sicherheitsdienstes seit 1932 und des Reichssicherheitshauptamtes seit 1939). Die „Endlösung der Judenfrage“ Auf der Konferenz wurde die Organisation der „Endlösung der Judenfrage“, die Vernichtung der europäischen Juden, festgelegt: Deportation der jüdische Bevölkerung in...

Wärmeenergie ( thermische Energie ) ist eine Form von innerer Energie eines physikalischen Systems, und zwar die mit der ungerichteten Zufallsbewegung der mikrophysikalischen Bestandteile (Atome, Moleküle etc.) des Systems verbundene kinetische Energie . Sie wird berechnet als Mittelwert der zufälligen Bewegungsenergie aller Teilchen, dies zeigt die enge Verbindung zwischen Wärmelehre und Statistik . Als Wärme oder Wärmemenge Q bezeichnet man Wärmeenergie, die bei einem Prozess von einem System auf ein anderes übertragen wird. Genau wie Arbeit tritt also auch Wärme immer nur bei Prozessen auf...

Wärmeausdehnung ist allgemein die Veränderung der Länge bzw. des Volumens eines Körpers bei Erhöhung oder Erniedrigung seiner Temperatur . Fast alle Körper dehnen sich bei Erwärmung aus und ziehen sich bei Abkühlung zusammen. eine wichtige Ausnahme ist Wasser zwischen 0 °C und +4 °C ( Anomalie des Wassers ). Die Wärmeausdehnung ist bei Festkörpern kleiner als in Flüssigkeiten und dort (viel) kleiner als in Gasen. Im Festkörper sind vor allem der Fall einer linearen, also eindimensionalen Ausdehnung in Drähten, Schienen u. Ä. sowie die gleichmäßige Volumenausdehnung (s. u.) von Interesse. Im...

Die Wärmekapazität C eines Körpers ist der Quotient aus der ihm zugeführten bzw. entnommenen Wärme Q und der dabei auftretenden Temperaturänderung \(\Delta T\) : \(C= \dfrac{\Delta Q}{\Delta T}\) Wenn man einen Körper bis zum absoluten Nullpunkt abkühlt, geht die Wärmekapazität bis auf null zurück. Dies bedeutet, dass man durch weiteren Wärmeentzug eine immer geringere Temperaturänderung hervorruft. Die Konsequenz hieraus ist, dass man den absoluten Nullpunkt nie ganz erreichen kann (dies ist die Aussage des dritten Hauptsatzes der Wärmelehre ). Die SI-Einheit der Wärmekapazität ist Joule pro...

Eine Wärmekraftmaschine ( Wärmeenergiemaschine ) ist eine Maschine, die Wärmeenergie in kinetische oder elektrische Energie umsetzt. Beispiele sind Verbrennungsmotoren ( Verbrennungskraftmaschinen ) und Kraftwerke . Thermodynamisch beschreibt man die Vorgänge in einer Wärmekraftmaschine anhand von Kreisprozessen . Eine Wärmekraftmaschine wird meist mit chemischer Energie (Energieträger: Benzin, Kohle, Erdöl, Gas) „gefüttert“, die im ersten Schritt durch Verbrennung in Wärmeenergie umgewandelt wird. Anschließend kommt der eigentliche Arbeitsschritt der Wärmekraftmaschine: die Wandlung von Wärme...

Die Wärmelehre ( Thermodynamik ) behandelt alle Vorgänge, in denen Wärmeenergie eine Rolle spielt. Dabei gibt es einmal die klassische makroskopische Sichtweise, die thermodynamische Systeme durch stetige Zustandsfunktionen und -größen beschreibt, wie innere Energie, Volumen oder Temperatur. Ein umfassendes Verständnis liefert allerdings erst die mikroskopische Sichtweise der Statistischen Physik , die z. B. Wärmeenergie als gemittelte ungerichtete Bewegungsenergie der kleinsten Teilchen erklärt. Die Quantenstatistik geht dabei von den Gesetzen der Quantenphysik aus, von denen die...

Übertragung von Wärmeenergie durch Stöße. Dabei fließt Energie von wärmeren Bereichen, in denen die Teilchen höhere Geschwindigkeiten haben, auf kältere Zonen, in denen sich langsamere Teilchen befinden. Wärmeleitung tritt beispielsweise auf, wenn man einen Metallstab mit einem Ende in die Flamme des Bunsenbrenners hält. Nach kurzer Zeit wird auch das andere Ende so heiß, dass man es nicht mehr in der Hand halten kann. Macht man denselben Versuch mit einem Glasstab, so stellt man fest, dass dabei die Wärme nur sehr langsam vom heißen Ende auf das kalte übertragen wird: Glas ist ein...

Die Wärmeleitung ist einer der drei wesentlichen Prozesse des Wärmetransports . Sie beruht darauf, dass sich die Bewegungsenergien der kleinsten Teilchen ( Atome , Moleküle ) in den beteiligten Körpern durch unvorstellbar viele Stöße einander angleichen. Die wesentlichen Punkte dabei sind: Beim Stoß zwischen zwei Atomen oder Molekülen wird (ungerichtete) Bewegungsenergie vom schnelleren auf das langsamere übertragen. Wärme fließt immer von Bereichen mit höherer Temperatur zu solchen mit niedrigerer Temperatur („von warm nach kalt“), da eine höhere Temperatur mit einer größeren mittleren...

Eine Wärmepumpe ist ein Gerät, das unter Energiezufuhr einem kälteren Medium (der „Wärmequelle“) Wärme entzieht und diese einem wärmeren Medium zuführt, also die natürliche Richtung der Wärmeleitung umkehrt. Das Prinzip ist identisch mit dem eines Kühlschranks bzw. einer Kältemaschine, nur dass hier sozusagen das Innerste nach außen gekehrt wird: Während bei einem Kühlschrank dem Inneren Wärme entzogen und nach außen (an die Küchenluft) abgegeben wird, entzieht die Wärmepumpe eines Passivhauses der Außenluft Wärme und heizt damit das Innere des Hauses auf. Im Idealfall kann eine elektrisch...

Wärmestrahlung ist ganz allgemein die Abgabe von Wärme in Form von elektromagnetischen Wellen . Da Wärmestrahlung, die von einem anderen Körper absorbiert wird, diesen erwärmt, ist Wärmestrahlung neben Wärmeleitung und Konvektion eine drei Formen des Wärmetransports und zudem die einzige Möglichkeit, Wärme durch das Vakuum zu übertragen. Wenn sich Strahler und Empfänger von Wärmestrahlung im thermischen Gleichgewicht befinden, nennt man die Strahluzng auch Temperaturstrahlung. Ein idealer Temperaturstrahler ist ein schwarzer Strahler , dessen Spektrum zwar kontinuierlich ist, aber ein...

Wärmetransport bzw. Wärmeübertragung ist der Übergang von Wärme zwischen zwei Körpern oder Medien. Wärmeübertragung erfolgt grundsätzlich auf drei Wegen: Wärmeleitung : Übertragung von mikroskopischer Bewegungsenergie von schnellen auf langsame Atome bzw. Moleküle, wenn sich die beiden Körper in direktem Kontakt befinden, Konvektion : Wärmeübertragung durch Transport von erwärmter Materie in einer Flüssigkeit, Wärmestrahlung : Absorption und Emission von elektromagnetischer Strahlung deren Energie der Wärmeenergie der beiden Körper entspricht. Im Vakuum ist nur der Austausch von Wärmestrahlung...

Warschauer Getto, das abgegrenzte jüdische Wohnviertel ( Getto ) in Warschau. Nach der Verschleppung von 300.000 Bewohnern ins Vernichtungslager Treblinka leisteten die verbliebenen rund 60.000 Juden vom 19.4. bis 16.5.1943 bei der endgültigen Räumung des Gettos bewaffneten Widerstand (Warschauer Aufstand). Beim Sturm auf das Getto wurden fast alle Juden von Verbänden der SS und der Polizei umgebracht.

Warschauer Pakt , im Gegenzug zur Gründung der NATO am 14.5.1955 geschlossenes Militärbündnis der Ostblockstaaten auf der Grundlage des »Vertrags über Freundschaft, Zusammenarbeit und gegenseitigen Beistand« (Warschauer Vertrag). Dieser Vertrag wurde durch zweiseitige Verträge und Truppenstationierungsverträge der Sowjetunion mit den Mitgliedsstaaten ergänzt. Mitglieder des Warschauer Pakts waren Albanien (bis 1968), Bulgarien, die DDR (1956 bis 1990), Polen, Rumänien, die Tschechoslowakei, die UdSSR und Ungarn. Der Warschauer Pakt unter Vorherrschaft der Sowjetunion bildete in den Zeiten des...

Wartburgfest , Treffen von etwa 450 Studenten und einige Professoren (Burschenschaften) auf der Wartburg bei Eisenach im Oktober 1817 ( Vormärz ). Sie demonstrierten für einen einheitlichen deutschen Nationalstaat , eine Verfassung und Bürgerrechte und somit gegen die Restauration im Deutschen Bund . Der Beginn der Reformation vor 300 Jahren und der vierte Jahrestag der Völkerschlacht bei Leipzig dienten als Anlass zu der Feier. Viele der Studenten hatten in der „Völkerschlacht“ als Freiwillige gegen Napoleon gekämpft.

H 2 O: Sauerstoffverbindung des Wasserstoffs , genaue chemische Bezeichnung: Wasserstoffoxid. Wasser entsteht bei der Verbrennung von Wasserstoff gemäß folgender Gleichung: H 2 + 1/2 O 2 → H 2 O; Δ H = -286,0 kJ. Die hohe negative Bildungsenthalpie zeigt die Beständigkeit des Wassermoleküls, das nur durch Zufuhr der gleichen Energiemenge wieder in seine Bestandteile zerlegt werden kann (bei 2000 °C sind erst 2 % der Wassermoleküle gespalten). Die große Elektronegativitätsdifferenz ( Elektronegativität ) von 1,4 Einheiten zwischen Wasserstoff und Sauerstoffatomen bedingt eine starke...

Die Gewinnung von nutzbarem Wasser aus Grund- oder Oberflächenwasser mithilfe chemisch-physikalischer und physikalischer Aufbereitungsverfahren. Bei der Aufbereitung von Oberflächenwasser zu Trinkwasser werden zunächst Schwebstoffe durch Flockung in voluminösere Teilchen umgewandelt und durch Filtration mit Kiesfiltern aus dem Wasser entfernt. Durch Belüftung wird das Wasser mit Sauerstoff angereichert. Gleichzeitig können ein Ausblasen von korrosivem Kohlenstoffdioxid und eine oxidative Umwandlung von gelösten Eisen(II)-Ionen in unlösliches Eisen(III)-oxidhydrat (Enteisenung) erreicht werden...

Ein Heizbad mit Wasser als Wärmeüberträger, das beim Erwärmen von leicht brennbaren Flüssigkeiten oder zum schonenden Erwärmen empfindlicher Substanzen verwendet wird.

Die Bewegung des Wassers zwischen den Ozeanen, der Atmosphäre und dem Festland. Die Luft nimmt eine gewisse Menge Wasserdampf auf, der z. B. durch Verdunstung an der Erd- oder Wasseroberfläche entsteht, wobei 87,5 % des verdunsteten Wassers direkt aus den Ozeanen stammen. Kühlt sich die Luft durch Aufsteigen oder durch Vermischen mit kühleren Luftmassen ab, kondensiert das Wasser unter Wolkenbildung. Weitere Abkühlung führt zu Niederschlag in Form von Regen, Hagel, Schnee u. a. Das über dem Festland niedergehende Wasser fließt entweder oberirdisch zum Meer oder versickert im Boden. Dort bildet...

Chemisches Element der I. Hauptgruppe, Zeichen H (zu griech.-lat. hydrogenium), OZ 1, mittlere relative Atommasse 1,01, Mischelement. Es gibt drei natürliche Isotope , »gewöhnlicher Wasserstoff«, \(\ce{^1_1H}\) , Deuterium , \(\ce{^2_1H}\) bzw. \(\ce{^2_1D}\) ; Tritium , \(\ce{^3_1H}\) bzw. \(\ce{^3_1T}\) ; bei Beschleunigerexperimenten wurden auch \(\ce{^4H}\) bis \(\ce{^7H}\) erzeugt. Physikalische Eigenschaften : Farb-, geruchs- und geschmackloses Gas aus zweiatomigen Molekülen (H 2 ); Dichte 0,09 g/l, Fp. -259,34 °C, Sp. -252,87 °C. In Wasser ist Wasserstoff nur sehr wenig löslich (100...

Sammelbezeichnung für alle Ionen, die sich vom Wasserstoffatom ableiten, so z. B. Proton , Deuteron ( Deuterium ), Triton ( Tritium ), Hydrid-Ion (Hydride), sowie für hydratisierte Protonen, bei denen der Hydratationsgrad des Protons unbestimmt ist ( Hydronium ); das einfach hydratisierte Proton wird als Oxonium-Ion bezeichnet.

Das Wasserstoffatom (H-Atom), genauer das nichtionisierte Wasserstoffisotop 1 H ist ein wichtiges Modellsystem der Physik, das nur aus zwei Teilchen besteht, nämlich einem Proton und einem Elektron, die elektromagnetisch aneinander gebunden sind. Dass es einen stabilen Grundzustand gibt, lässt sich nur quantenmechanisch erklären. Die Bedeutung des H-Atoms beruht darauf, dass es das einzige atomare System ist, für das sich quantenmechanisch die Schrödinger-Gleichung lösen lässt. Die Lösungen der Schrödinger-Gleichung des H-Atoms sind sog. Wellenfunktionen , deren Quadrat die...

Bei stark heteropolaren Atombindungen (z. B. O–H, N–H, F–H) ist die Bindung stark polarisiert und die Bindungspartner tragen Partialladungen. Da sich entgegengesetzte Ladungen anziehen, ziehen sich Moleküle mit hohen Partialladungen gegenseitig an. Zum Beispiel das kleine Wassermolekül, das aufgrund seiner Größe bei Raumtemperatur eigentlich gasförmig sein sollte, bildet auf diese Weise eine Flüssigkeit. Außer Wasserstoff- gibt es auch noch andere Brückenbindungen, v. a. die in der Biochemie wichtige Disulfid- oder Schwefelbrückenbindung.

(veraltet: Wasserstoffsuperoxid), H 2 O 2 : Farblose, in dickeren Schichten bläuliche, ziemlich viskose Flüssigkeit, die in reiner Form zu explosionsartigem Zerfall in Wasser und Sauerstoff neigt. Das Molekül ist gewinkelt angeordnet. Mit Wasser vermischt sich Wasserstoffperoxid in jedem Verhältnis; eine im Handel befindliche 30 %ige wässrige Lösung ist das Perhydrol. Wasserstoffperoxid wirkt stark oxidierend und findet deshalb vielseitige Verwendung, z. B. zum Bleichen von Haaren, Leder, Wolle usw. oder als Oxidationsmittel für Raketentreibstoffe. Ferner dient es als Ausgangsprodukt zur...

Bezeichnung für anorganische (Arrhenius-)Säuren, die in ihren Molekülen keine Sauerstoffatome enthalten. In diesen Molekülen sind die als Protonen abspaltbaren Wasserstoffatome direkt an das säurebildende Atom, z. B. an ein Halogen- oder Schwefelatom, gebunden. Zu den Wasserstoffsäuren gehören u. a. Chlorwasserstoff , HCl, Schwefelwasserstoff, H 2 S, und Cyanwasserstoff, HCN.

Wasserwellen ist ein etwas unpräziser Sammelbegriff für im Wasser auftretende Wellenerscheinungen . Wichtig ist, dass bei einer Wasserwelle wie bei jeder Welle nur ein bestimmter Bewegungszustand und die damit verbundene Energie, aber kein Wasser transportiert wird. Bei Oberflächenwellen bewegen sich die Wassermoleküle auf kreisförmigen Bahnen, deren Durchmesser senkrecht auf der Wasseroberfläche stehen (Abb.). Bei Tsunamis , die an Küsten Amplituden von bis zu 30 m erreichen können, schwingt dagegen die gesamte, mehrere Kilometer hohe Wassersäule eines Ozeans mit – auf dem offenen Meer –...

Das Watt (nach James Watt ), Einheitenzeichen W, ist die SI-Einheit der Leistung . Dabei wird nicht zwischen elektrischer, mechanischer oder anderer Leistung unterschieden, weswegen man oft über das Watt zwischen mechanischen und elektrischen Einheiten umrechnet. 1 W ist gleich der Leistung, bei der während der Zeit 1 s die Energie 1 J ( Joule ) umgesetzt wird: \(1\,\text W = 1\,\dfrac{\text J}{\text s} = 1\,\text V \cdot \text A = 1\,\dfrac{\text m^2 \cdot \text{kg} }{\text s^3}\)

Weberaufstand , das Aufbegehren der Weber im 18. und 19. Jahrhundert, besonders aber der Schlesische Weberaufstand von 1844. Die Lage der schlesischen Weber hatte sich seit etlichen Jahren stetig verschlechtert. Die Produktion von Leinwand und Baumwolltuch war nach dem Verlagssystem organisiert. Die Unternehmer lieferten den Webern die Garne und waren wiederum die alleinigen Abnehmer des Tuches. Dies machte die Weber von den Fabrikanten vollkommen abhängig. 1844 betrugen die Wochenlöhne der schlesischen Weber durchschnittlich zwanzig Silbergroschen. Dies entspricht einem Viertel des...

Ein Wechselstromkreis ist ein Stromkreis , bei dem sich Stromstärke und Spannung periodisch ändern, man spricht daher von Wechselstrom und Wechselspannung . Für Wechselspannung verwendet man häufig das Symbol U ~ . Nach der engl. Bezeichnung „alternating current“ benutzt man für Wechselstrom auch die Abkürzung AC . Typische Elemente eines Wechselstromkreises sind eine Energiequelle, welche die Wechselspannung liefert, Ohm’sche Widerstände , Spulen und Kondensatoren . Meist ändern sich Stromstärke und Spannung (annähernd) sinusförmig, es gilt dann: \(I(t) = \hat I\cdot \sin \omega t \\ U(t) =...

Geboren in Hannover am 24.7.1864, gestorben in München am 9.3.1918: Der Sohn eines Arztes studierte zunächst Jura, brach das Studium jedoch vorzeitig ab und verdingte sich 1886/1887 als Mitarbeiter im Reklame- und Pressebüro der Firma Maggi. Später war er als Journalist sowie als Dramaturg und Theaterschauspieler tätig. Ab 1901 gehörte er dem Kabarett Die Elf Scharfrichter an, von 1905 bis 1908 war er Mitglied des Deutschen Theaters in Berlin. Er lebte längere Zeit als freier Schriftsteller in Zürich, Paris und München und galt mit seinem unsteten Leben sowie seinem oftmals provokativen...

Inhalt Eine Wegbeschreibung muss genau und eindeutig formuliert werden, so dass auch jemand, der den Weg nicht kennt, sein Ziel findet. Sie sollte dabei nicht länger als nötig sein, aber auch keine relevanten Informationen vorenthalten. Hilfreich ist es unter anderem, Straßennamen, auffällige Gebäude oder andere Besonderheiten des Weges zu erwähnen. Beispiel: Gehen Sie etwa 300 Meter die Albert-Schweitzer-Straße entlang und biegen Sie an dem alten Brunnen links ab. Aufbau und Form Zu Beginn der Wegbeschreibung wird der Ausgangspunkt und der Endpunkt des Weges, der beschrieben werden soll...

Historische Zusammenhänge Goethes Italienreise (1786) und sein Studium der Antike lässt sich als Beginn der Weimarer Klassik benennen, Schillers Tod als das Ende. Man kann die Klassik allerdings auch als die Zeit der intensiven zehnjährigen Zusammenarbeit zwischen den beiden Dichtern Goethe und Schiller bestimmen (1795-1805). In dieser Zeit formulierten sie ihre poetischen Visionen von menschlich mustergültigen, überzeitlichen Wertvorstellungen. Die gedankliche Auseinandersetzung mit Literatur und Philosophie rangierte eindeutig vor der geistigen Auseinandersetzung mit Politik und Staat. Die...

Weimarer Koalition, das Regierungsbündnis zwischen der Sozialdemokratie (SPD), der Zentrumspartei (Zentrum) und der linksliberalen Deutschen Demokratischen Partei (DDP) in der Weimarer Nationalversammlung und im Reichstag , das in der Anfangsphase der Weimarer Republik ein Element politischer Stabilität darstellte.

Weimarer Nationalversammlung, die verfassungsgebende Nationalversammlung im Übergang vom Deutschen Kaiserreich zur parlamentarischen Demokratie der Weimarer Republik . Bei der Wahl zur Nationalversammlung am 19.1.1919 erhielten SPD, Zentrum und DDP (Linksliberale) zusammen die Mehrheit und bildeten eine Regierung, die Weimarer Koalition . Diese verlor jedoch in der Reichstagswahl 1920 ihre parlamentarische Mehrheit. Die Wahl war nach dem damals als fortschrittlich geltenden Verhältniswahlrecht von Männern und – erstmals – von Frauen gewählt worden. Aufgrund von Straßenkämpfen im Zusammenhang...

Weimarer Reichsverfassung, die von der Weimarer Nationalversammlung verabschiedete und am 14.8.1919 in Kraft getretene Verfassung des Deutsche Reiches und verfassungsmäßige Grundlage der Weimarer Republik . Die neue Verfassung war von der Verfassung der Frankfurter Nationalversammlung („Paulskirchenverfassung“) von 1849 beeinflusst und wirkte auf das Grundgesetz der Bundesrepublik Deutschland ein. Die Verfassung hatte neben plebiszitären Elementen (z.B. Volksbegehren und die direkte Wahl des Reichspräsidenten) vor allem Elemente eines Präsidialsystems und Elemente einer parlamentarischen...

Weimarer Republik, die erste parlamentarische Republik auf deutschem Boden. Nach dem Sturz von Kaiser Wilhelm II. (*1859, †1941, deutscher Kaiser und König von Preußen von 1888 bis 1918) in der Novemberrevolution 1918/19 wurde Weimarer Republik errichtet. Sie hatte von Anfang an viele Feinde und ging schon nach 14 Jahren mit der Machtergreifung der Nationalsozialisten unter Adolf Hitler am 30.1.1933 in die nationalsozialistische Diktatur über. Die Weimarer Republik wurde nach dem Tagungsort der verfassungsgebenden Nationalversammlung benannt. Die Weimarer Republik kann in drei Phasen...

Historische Zusammenhänge Die Krisenjahre nach dem Ersten Weltkrieg belasteten den Anfang der jungen Republik (Wirren nach dem Krieg, Dolchstoßlegende, Inflation, Besetzung des Ruhrgebietes, Hitlerputsch, kommunistische Aufstände). Von 1924 bis 1929 erreichte die Republik eine Phase relativer Stabilität. Man spricht von den „goldenen Zwanzigern“. Berlin wurde zu einer Metropole von Kultur und Wissenschaft. Die neuen Medien Rundfunk und Film traten ihren Siegeszug an. In der Weimarer Republik wirkten nach dem Ersten Weltkrieg zunächst noch die expressionistischen Konzepte weiter. Zusätzlich gab...

weiße Blutkörperchen siehe Leukocyten

Weiße Rose, Gruppe des studentischen Widerstands gegen den Nationalsozialismus um die Geschwister Hans Scholl (*1918, †1943) und Sophie Scholl (*1921, †1943) in München. Die Studentengruppe verbreitete Flugblätter, in denen die Verbrechen der Nationalsozialisten angeprangert wurden und zum Widerstand gegen die Regierung und den Krieg aufgerufen wurde. Im Februar 1943 wurden die Geschwister Scholl und weitere Mitglieder der Weißen Rose verhaftet und hingerichtet. Eine weitere Gruppe des studentischen Widerstands waren die Edelweißpiraten.

Der Welle-Teilchen-Dualismus (von lat. dualis „zwei enthaltend“) ist die für die moderne Physik so grundlegende wie schwer zu verstehende Tatsache, dass in der mikroskopischen Welt jedes Objekt sowohl Eigenschaften einer Welle als auch solche von Teilchen aufweist. Zum Beispiel kann man sowohl mit Licht als auch mit Elektronen oder Neutronen Interferenzmuster erzeugen (Wellencharakter), und beide rufen auf einer Fotoplatte punktförmige Schwärzungen hervor, wenn sie auf diese mit minimaler Intensität treffen (Teilchencharakter, d. h. Auftreten in diskreten „Portionen“ oder Quanten ). In einer...

Ganz allgemein ist eine Wellenfunktion eine von Ort und Zeit abhängige Funktion, die die Ausbreitung einer Welle modelliert. Im einfachsten Fall einer eindimensionalen Sinuswelle ist es die Sinusfunktion \(f(x, t) = \sin(\omega t - kx)\) ( \(\omega\) : Kreisfrequenz , \(k = 2\pi/\lambda\) : Wellenzahl , \(\lambda\) : Wellenlänge ). In der Quantenmechanik gibt die Wellenfunktion \(\Psi(x, t)\) (oder genauer: das Quadrat ihres Betrages) an, wie sich die Wahrscheinlichkeit , ein Quantenobjekt am Ort x zu finden, mit der Zeit t ändert. Allerdings sind die Funktionswerte in diesem Fall komplexe...

Die Wellenlänge \(\lambda\) ist der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Punkten gleicher Phase bei einer Welle . Anders als die Frequenz , die auch bei Schwingungen definiert ist, gibt es die Wellenlänge nur bei sich ausbreitenden Wellen. Das Produkt aus Wellenlänge und Frequenz einer Welle ist die Wellengeschwindigkeit c (beim Auftreten von Dispersion die Phasengeschwindigkeit ). Der Kehrwert der Wellenlänge ist die Wellenzahl \(\tilde \nu = \dfrac 1 \lambda\) .. Diese vor allem in der Spektroskopie benutzten Größe hat die SI-Einheit 1/m bzw. m –1 .

Weltwirtschaft, alle weltweiten (globalen) und wirtschaftlichen Beziehungen zwischen Staaten der Erde, die vor allem auf dem Außenhandel, der Bewegung von Kapital und Arbeitskräften zwischen Volkswirtschaften beruhen. Zunächst ist Weltwirtschaft mit der Entwicklung des Welthandels verknüpft. Der Prozesse der internationalen Arbeitsteilung verstärkt sich und bezieht sich auf den zunehmenden Austausch von Gütern und Dienstleistungen, Kapital für Zwecke der Investitionen und der Geldanlage auf Finanzmärkten sowie technischem Wissen. Gefördert wurde die wirtschaftliche Globalisierung durch den...

Weltwirtschaftskrise (Weimarer Republik), allgemein ein wirtschaftlicher Zusammenbruch, von dem die meisten Länder der Erde betroffen sind, im Speziellen die Krise von 1929 bis 1932. Diese Weltwirtschaftskrise war gekennzeichnet von Unternehmenszusammenbrüchen, fallenden Löhnen und Preisen (Deflation) und Massenarbeitslosigkeit in den wichtigsten Industrieländern . Auslöser: Der Schwarze Freitag Ein Börsenkrach in New York wird zum Auslöser der Weltwirtschaftskrise. Dieser Zusammenbruch an der New Yorker Börse (Börsencrash) fand am 24.10.1929 statt. Die am folgenden Freitag (Schwarzer Freitag)...

Weltwunder, außergewöhnliche Kunst- und Bauwerke in der Antike . Die sieben Weltwunder waren: die Pyramiden von Ägypten, die Mauern von Babylon, die Hängenden Gärten von Babylon (ein von Gewölben getragener Dachgarten), die Statue des Zeus von Olympia, der Tempel der Artemis von Ephesos, das Mausoleum von Halikarnass, der Koloss des Helios von Rhodos (ein 37 m hohes Bronzestandbild des Sonnengottes Helios). Die älteste Weltwunderliste stammt aus dem 2. Jahrhundert v. Chr. Die Pyramiden sind die einzigen Bauwerke unter den Weltwundern, die noch heute stehen. In späterer Zeit stellte man noch...

Ein Punkt P ( x 0 | f ( x 0 )) des Graphen G f einer Funktion f heißt Wendepunkt (und die Stelle x 0 dann eine Wendestelle ), wenn sich dort die Krümmung des Graphen ändert. Die Tangente an diesem Punkt ist die Wendetangente . Ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente ist ein Sattelpunkt bzw. Terrassenpunkt . Bedingungen für Wendepunkte Wenn eine zweimal differenzierbare Funktion f an der Stelle x 0 einen Wendepunkt hat, dann ist ihre zweite Ableitung null ( \(f'' ( x_0 ) = 0\) ) und ihre Krümmung verschwindet dort. Umgekehrt muss die zweite Ableitung null sein, damit bei x 0 ein Wendestelle...

Allgemein Die Macher von üblicher Werbung bzw. Werbeanzeigen rechnen in der Regel nur mit einer flüchtigen Aufmerksamkeit, sodass die Texte kurz und einfach sind. Oft steht der Zwang zum immer wieder Neuartigen und Auffälligem im Vordergrund. Typische Aufteilung von Werbeanzeigen Werbeanzeigen werden oft folgendermaßen aufgeteilt:

Allgemein Die Werbung lässt sich als kommunikativer Prozess kennzeichnen. In der Werbung für Konsumgüter wird die Sprache kaum als "reines" Informationsmittel, sondern auch zur Steuerung unserers Verhaltens genutzt. Somit ist die Sprache als intentional und handlungsanweisend zu kennzeichnen. Werbebotschaften sind nach der AIDA-Formel aufgebaut. Kennzeichen Die Sprache wendet sich an Gefühle und unterschwellige Erwartungen und Bedürfnisse der Menschen. Die in der Werbung eingesetzten sprachlichen Mittel sind abhängig von der Eigenart der Textsorte (Werbebrief, Prospekt, Zeitschriftenanzeige)...

Die Wertemenge bzw. der Wertebereich W einer Funktion umfasst alle Zahlen, die man als Funktionswert erhalten kann, sofern man für die unabhängige Variable ein Element der Definitionsmenge einsetzt. Beispiele: Die quadratische Funktion y = x 2 hat die Wertemenge \(W = \mathbb R_0^+\) . Die Winkelfunktionen Sinus und Kosinus haben als Wertemenge das Intervall [–1; 1]. Fasst man die Funktion im allgemeineren Sinn als eine Abbildung auf, ist die Wertemenge also die Bildmenge (das Abbild) der Definitionsmenge. Wenn eine Funktion f eine Umkehrfunktion f –1 besitzt, tauschen Definitions- und...

In einer Wertetabelle werden wichtige bzw. leicht zu berechnende Werte von Zuordnungen und Funktionen dargestellt. Dabei werden die Werte der unabhängigen Variablen (das „ x “) in einer Spalte bzw. Zeile dargestellt und die zugeordneten Werte oder die zugehörigen Funktionswerte in einer zweiten. Beispiel: f ( x ) = 2 x 2 x –2 –1 0 1 5 f ( x ) 8 2 0 2 50

Wesir, der höchste königliche Beamte in der ägyptischen Hochkultur . Der Wesir war oberster Richter, Polizeichef und Leiter der Nahrungsmittelversorgung. Er erhielt vom Pharao seine Aufträge und stand dem staatlichen Verwaltungsapparat mit bis zu 20.000 Beamten vor.

Westfälischer Frieden, die Einigung von 1648 zur Beendigung des Dreißigjährigen Kriegs . Keine der Kriegsparteien konnte den Krieg auf den Schlachtfeldern gewinnen. Das Land war ausgeblutet, die Heere erschöpft. Friedensverhandlungen 1640 waren die Kriegsparteien bereit, über einen Frieden zu verhandeln. 1644 begannen die Friedensverhandlungen zwischen dem römisch-deutschen Kaiser, den Reichsständen sowie Frankreich und Schweden in den neutralen Städten Münster (dort versammelte sich die katholische Seite, der Kaiser verhandelte mit Frankreich) und Osnabrück (dort versammelte sich die...

Weströmisches Reich, nach dem Tod von Kaiser Theodosius I., dem Großen (*347, †395, Kaiser seit 379) im Jahr 395 entstandener Teil des Römischen Reichs mit der Hauptstadt Ravenna (Italien). Das Weströmische Reich konnte dem Ansturm der Stämme, die durch die Völkerwanderung in Bewegung geraten waren, nicht mehr standhalten. Auf seinem Territorium entstanden viele Reiche. Diese bestanden zwar oft nur für kurze Zeit, ihre Existenz führte jedoch dazu, dass das Weströmische Reichsgebiet immer weiter zusammenschrumpfte. Das Weströmische Reich endete, nachdem 476 der letzte weströmische Kaiser...

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist eine Wette ein Glücksspiel , bei dem man auf den Ausgang eines Zufallsexperiments einen gewissen Geldbetrag, den sog. Einsatz, setzt. Tritt das Ereignis ein, bekommt man den Einsatz sowie eine „Prämie“, meist ein Vielfaches des Einsatzes, ausbezahlt (Gewinn), andernfalls ist der Einsatz verloren (Verlust). In dieser Form ist eine Wette immer ein Bernoulli-Experiment und die Wahrscheinlichkeit, bei n Wiederholungen der Wette k -mal den Gewinn zu kassieren, lässt sich mit der Binomialverteilung ausrechnen. Einige bekannte Glücksspiele sind eigentlich Wetten...

Wettrüsten (Erster Weltkrieg), der Rüstungswettlauf vor dem Ersten Weltkrieg, insbesondere zwischen Deutschland und Großbritannien. Folge des Neuen Kurses Mit dem Neuen Kurs betrieb Kaiser Wilhelm II. (*1859, †1941, deutscher Kaiser und König von Preußen von 1888 bis 1918) eine aggressive Außenpolitik: Das Deutsche Kaiserreich wollte auch zu den großen Kolonialmächten gehören (Weltmachtpolitik). Gleichzeitig wurde das Bündnissystem Otto von Bismarcks nicht weiterverfolgt, stattdessen militärisch aufgerüstet. Das Wettrüsten war verbunden mit der Sorge, in wenigen Jahren anderen Nationen...

Widerstand, während der Zeit des Nationalsozialismus die Gesamtheit der Kräfte, die sich in Deutschland aktiv oder passiv gegen das nationalsozialistische Regime auflehnten. Widerstandsgruppen und Justizterror Seit Errichtung der nationalsozialistischen Diktatur formierte sich der aktive Widerstand im Untergrund, der alle gesellschaftlichen Gruppen umfasste. Jeder Widerstand war lebensgefährlich. Der Widerstand umfasste ein breites Spektrum von organisierten und nicht organisierten Kräften aus Gewerkschaften, SPD, KPD, konservativ-nationalen und kirchlichen Kreisen sowie ehemaligen...

Wiedervereinigung, deutsche Einheit, die Wiedererlangung der staatlichen Einheit Deutschlands nach den Jahren der Spaltung in zwei deutsche Staaten 1949 nach dem Zweiten Weltkrieg. 1989 führte die friedliche Revolution in der DDR zum Zusammenbruch der SED­-Herrschaft und ebnete den Weg zur Wiedervereinigung der beiden deutschen Staaten. Der Weg der friedlichen Revolution 1989 Seit den 1970er-Jahren kämpfte in der DDR meist unter dem Dach der evangelischen Kirche eine Opposition (z.B. Umwelt-, Friedens- und Menschenrechtsgruppen) unter anderem für die Einhaltung von Menschenrechten insbesondere...

Wiener Kongress, Zusammenkunft der führenden europäischen Staatsmänner über eine territoriale und politische Neuordnung Europas. Nach den Befreiungskriegen gegen Napoleon Bonaparte sollte die politische Ordnung der Zeit vor der Französischen Revolution wiederhergestellt werden ( Restauration ). Der Teilnehmerkreis Der Kongress wurde im Pariser Frieden von 1814 vereinbart und fand vom September 1814 bis Juni 1815 in der österreichischen Hauptstadt statt. Gastgeber war Kaiser Franz I. (*1768, †1835, seit 1804 Kaiser von Österreich). Der österreichische Staatskanzler Klemens Wenzel Fürst von...

Wikinger, ein kriegerisches Seefahrervolk im Norden und Nordosten Europas (Nord- und Ostseeraum) zur Zeit des Frühmittelalters . Mit dem Überfall norwegischer Seefahrer auf das Kloster Lindesfarne in England 793 begann das Zeitalter der Wikinger, die plündernd und erobernd fast ganz Europa (vor allem das heutige Frankenreich, den Mittelmeerraum und das Gebiet des späteren Russlands) heimsuchten. Im 9. Jahrhundert schlugen Wikingerheere feste Lager auf, um zu überwintern und die Länder systematisch nach Beute zu durchkämmen. Später wurden die Lager zu Siedlungen umgebaut. So kam es auch zur...

Thornton Wilder , amerikanischer Schriftsteller, geb. am 17.04.1897 in Madison, gest. am 07.12.1975 in Hamden. Werke (Auswahl) Wilder schrieb Romane , Essays und Dramen . Zu seinen bekanntesten Werken gehören unkonventionelle Dramen in Anlehnung an den Expressionismus und das epische Theater, z.B. Our Town (1938) und The Skin of Our Teeth (1942). Romane: The Bridge of San Luis Rey (1927) beschäftigt sich mit dem das Wirken des Göttlichen im scheinbar Sinnlosen. In The Ides of March (1948) zeichnet Wilder ein modernes Bild der Herrschaft Julius Cäsars.

Bildung Das will-future setzt sich aus will und dem Infinitiv (ohne to) des Vollverbs zusammen. Es hat für alle Personen die gleiche Form . Singular Plural I will go / you will go / he, she, it will go we will go / you will go / they will go Oft wird anstelle von will die Kurzform ’ll verwendet: I’ll be there. / She’ll tell you all about it. Verneint wird das will-future durch die Konstruktion will + not + Verb . Die umgangssprachliche Kurzform dafür lautet won’t : They will not agree with you. / Will he keep the secret? No, he won’t . Das will-future-progessive und das future-perfect hingegen...

Bildung Das will-future progressive (auch will-future continuous ) setzt sich aus will + be + Partizip Präsens zusammen. Die Form ist bei allen Personen gleich . Singular Plural I will be going / you will be going / he, she, it will be going we will be going / you will be going / they will be going Oft wird anstelle von will die Kurzform ’ll verwendet: She’ll be staying with her aunt for a while. Verneint wird das will-future progressive durch die Konstruktion will + not + Partizip Präsens . Die umgangssprachliche Kurzform dafür lautet won’t : He will not be travelling to Asia next month. / I...

Tennessee Williams , amerikanischer Dramatiker , geb. am 26.03.1911 in Columbus, Mississippi, gest. am 25.02.1983 in New York. Werke (Auswahl) Zu Williams' bekanntesten Werken gehören The Glass Menagerie (1944), A Streetcar Named Desire (1947), Cat on a Hot Tin Roof (1955) und Suddenly, Last Summer (1958). Darüber hinaus schrieb er die Drehbücher zu den Filmen The Rose Tattoo (1955) und Baby Doll (1956). Themen Die scheinheilige ( hypocritical ) Welt mit unterdrückter ( repressed ) Sexualität und Gewalt unter einem dünnen Mantel (hier: layer ) von Vornehmheit ( gentility ).

Die Windenergie ist eine regenerative Energieform , die mithilfe von Generatoren die Bewegungsenergie von Luftströmungen in elektrische Energie umwandelt. Wind entsteht in der Atmosphäre beim Ausgleich von Druckunterschieden, welche durch unterschiedlich starke Erwärmungen durch die Sonneneinstrahlung entstehen. Von der gesamten auf die Erde gelangenden Sonnenenergie erzeugen zwar nur 2 % Luft- und Meeresströmungen, dies ist aber immer noch weit mehr als die Leistung aller Kraftwerke der Welt zusammen. Technisch gesehen arbeiten heutige Windräder wie umgekehrte Flugzeugpropeller : Der...

Zwei Geraden heißen windschief , wenn sie weder parallel sind noch einen Schnittpunkt haben. Dies ist nur im dreidimensionalen Raum möglich, in der Ebene schneiden sich nicht parallele Geraden immer . Ein Kriterium dafür, dass zwei Geraden im Raum zueinander windschief stehen, ist, dass beide Richtungsvektoren und der Differenzvektor (Verbindungsvektor) eines beliebigen Punkts auf der einen Geraden und eines Punkts auf der anderen voneinander linear unabhängig sind. Beispiel: \(g\! : \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot...

Zwei Strahlen mit einem gemeinsamen Anfangspunkt S bilden einen Winkel . Der gemeinsame Anfangspunkt ist der Scheitelpunkt des Winkels. Die zwei Strahlen nennt man die Schenkel des Winkels. Meistens gibt man Winkel mit kleinen griechischen Buchstaben an, z. B. \(\alpha\) ( alpha ), \(\beta\) ( beta ), \(\gamma\) ( gamma ), \(\delta\) ( delta ) oder \(\varphi\) ( phi ). Einen Winkel der Größe 1 Grad (1°) erhält man, indem man einen Kreis in 360 deckungsgleiche Teile (Kreisausschnitte) zerlegt. Außer im Gradmaß werden Winkel oft auch im Bogenmaß angegeben. Wird der eine Schenkel um den...

An einem Kreis kann man verschiedene Winkel betrachten: Ist \(\overline{AB}\) eine Sehne des Kreises mit dem Mittelpunkt \(M\) , dann heißt \(\measuredangle\) \(AMB\) Mittelpunktswinkel . Ist \(\overline{AB}\) eine Kreissehne und \(S\) ein Punkt auf dem Kreisumfang, dann heißt \(\measuredangle\) \(ASB\) Umfangswinkel . Beachte: Zu einer gegebenen Sehne \(\overline{AB}\) gehören ein Mittelpunktswinkel, aber unendlich viele Umfangswinkel. Ist \(\overline{AB}\) eine Sehne und sind \(t_a, t_b\) Kreistangenten in \(A\) bzw. \(B,\) dann heißt der von der Sehne \(\overline{AB}\) und...

An einer Geradenkreuzung , also dem Schnittpunkt zweier Geraden , gilt für die vier Winkel an der Kreuzung \(\alpha+\beta=\beta+\gamma=\gamma+\delta=\delta+\alpha=180^{\circ}\) . Dies formuliert man auch in den beiden folgenden Sätzen: Scheitelwinkelsatz Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß. Sie werden Scheitelwinkel genannt . Nebenwinkelsatz Nebeneinanderliegenden Winkel ergänzen sich zu 180°. Sie heißen Nebenwinkel .

Wenn zwei parallele Geraden an einer sog. Doppelkreuzung von einer dritten Geraden geschnitten werden, so gelten für die acht dabei auftretenden Winkel die folgenden Winkelsätze : Stufenwinkel satz An geschnittenen Parallelen sind die an den beiden Kreuzungen einander entsprechenden Winkel ( Stufenwinkel , F-Winkel ) gleich groß. Wechselwinkel satz An geschnittenen Parallelen sind die dem jeweiligen Scheitelwinkel an der anderen Kreuzung entsprechenden Winkel ( Wechselwinkel , Z-Winkel ) jeweils gleich groß. Nachbarwinkelsatz An geschnittenen Parallelen ergänzen sich die dem jeweiligen...

Für den Winkel \(\varphi\) zwischen Vektoren \(\vec a\) und \(\vec b\) gilt \(\displaystyle \cos \varphi = \frac{\vec a \circ \vec b}{|\vec a | \cdot | \vec b|} \ \ \Leftrightarrow \ \ \varphi = \arccos \frac{\vec a \circ \vec b}{|\vec a | \cdot | \vec b|} \) („ \(\circ\) “ ist das Skalarprodukt und arccos der Arkuskosinus , also die Umkehrfunktion des Kosinus .) Beispiel: \(\overrightarrow{a} = \left(\begin{array}{c}{-3}\\{4}\end{array}\right) , \ \ \overrightarrow{b} = \left(\begin{array}{c}{12}\\{5}\end{array}\right)\) \(\overrightarrow{a}\circ \overrightarrow{b} = \left(\begin{array}...

Eine andere Bezeichnung für die trigonometrischen Funktionen Sinus (sin x ), Kosinus (cos x ) und Tangens (tan x ). Der Name kommt daher, dass sie ursprünglich für die Winkel im rechtwinkligen Dreieck definiert waren. Sie lassen sich aber ohne Probleme auf ganz \(\mathbb R\) definieren (mit wenigen Ausnahmen).

Winkelgeschwindigkeit und Kreisfrequenz sind zwei eng miteinander verwandte physikalische Größen , die bei Rotationsbewegungen bzw. Schwingungen und Wellen eine große Rolle spielen. Das Formelzeichen ist in beiden Fällen \(\omega\) , die SI-Einheit ist wie bei allgemeinen Frequenzen das Hertz , es ist \(1\,\text{Hz} = \dfrac 1 {\text s}\) (man kann auch die Einheit Radiant pro Sekunde, rad/s, benutzen, da Radiant aber eine der wenigen dimensionslosen Einheiten ist, kann man sie auch gleich ganz weglassen). Bei einer Rotation (Drehbewegung, Kreisbewegung) definiert man die...

Im Allgemeinen ist eine Winkelhalbierende eine Gerade durch den Scheitel eines Winkels , welche das Winkelfeld in zwei gleich große Hälften teilt. Die Aufgabe, zu einem gegebenen Winkel die Winkelhalbierende nur mit Zirkel und Lineal zu finden, ist eine der sog. geometrischen Grundkonstruktionen . In einem zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem ( Achsenkreuz ) nennt man die Geraden y = x und y = – x die erste bzw. zweite Winkelhalbierende , da sie den Winkel zwischen x - und y -Achse halbieren. In einem Dreieck gehören die drei Winkelhalbierenden \(w_\alpha\) , \(w_\beta\) und \(w_...

Einheiten für die Angabe der Größe eines Winkels ; in der Schule hat man es entweder mit dem Gradmaß (°) oder dem Bogenmaß (ohne Einheit oder Radiant) zu tun.

Die Winkelsummensätze für Dreieck und Viereck sind Spezialfälle des allgemeine Winkelsummensatzes für ein Polygon (Vieleck) mit n Ecken: \(\displaystyle \sum_{i=1}^n \alpha_i = (n-2)\cdot 180°\) Beim Dreieck ( n = 3) bedeutet das \(\displaystyle \sum_{i=1}^3 \alpha_i = \alpha + \beta + \gamma = (3-2)\cdot 180° = 180°\) beim Viereck gilt entsprechend \(\displaystyle \sum_{i=1}^4 \alpha_i = \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360°\)

Winterschlaf: schlafähnlicher, meist etwa 5–6 Monate dauernder Zustand, der bei manchen Säugetieren v. a. der gemäßigten Klimazonen und der Gebirge in der kalten Jahreszeit auftritt. Der Winterschlaf wird hormonell gesteuert, der Stoffwechsel und damit die Wärmeproduktion werden dabei stark eingeschränkt. Dementsprechend sind Atmung und Kreislauftätigkeit sehr verlangsamt, die Körpertemperatur sinkt bis nahe 0 °C ab. Äußere Faktoren, die die hormonelle Umstellung einleiten, sind abnehmende Umgebungstemperatur, Tageslichtdauer und Nahrungsangebot. So setzt ab einer bestimmten Außentemperatur...

Wirbellose : zusammenfassende Bezeichnung für alle Vielzeller mit echten Geweben , mit Ausnahme der Wirbeltiere . Wirbellose sind meist kleine bis mittelgroße Tiere, die keine stützende Wirbelsäule besitzen. Hierher gehören z. B. Hohltiere, Ringelwürmer, Gliederfüßer, Stachelhäuter, Manteltiere und Weichtiere.

Die Wirbelsäule ist das Achsenskelett der Wirbeltiere. Die Wirbelsäule , die im Verlauf der Embryonalentwicklung die ursprünglich angelegte Chorda dorsalis verdrängt, besteht aus einzelnen Wirbeln. Knorpelfische (Haie, Rochen) haben noch knorpelige , Knochenfische und alle höheren Wirbeltiere knöcherne Wirbel. Lurche und Kriechtiere entwickeln zwischen den Wirbelkörpern Gelenkflächen. Vögel besitzen zwischen den Wirbeln Gelenke mit Sattelflächen. Die Wirbel der Säuger sind auf beiden Seiten fast eben. Zwischen ihnen liegen die Bandscheiben , in deren Zentrum noch ein Rest der Chorda dorsalis...

Ein Wirbelstrom ist ein elektrischer Strom mit geschlossenen Stromlinien. In einer leitenden rotierenden Scheibe entstehen Wirbelströme, wenn die mitrotierenden freien Elektronen durch ein äußeres Magnetfeld abgelenkt werden. Die W. wandeln Rotationsenergie in Wärme um. Auf diesem Prinzip beruht die Wirbelstrombremse . In den meisten Fällen sind Wirbelströme unerwünscht, zur Vermeidung von Wirbelstromverlusten werden in der Elektrotechnik rotierende Bauteile kammartig geschlitzt. In Supraleitern treten verlustlose Wirbelströme auf, die im Prinzip unbegrenzt lange fließen können.

Wirbeltiere (Vertebrata): Die Wirbeltiere bilden die höchstentwickelte, zu dem Tierstamm Chordatieren zählende Tiergruppe, zu denen auch der Mensch gehört. Sie besitzen einen bilateralsymmetrischen Körper, ein festes Innenskelett ( Wirbelsäule ) mit Schädel, ursprünglich zwei Paar Gliedmaßen und eine mehrschichtige Oberhaut. Das Gehirn ist stets deutlich vom übrigen Nervensystem abgegliedert, und die Sinnesorgane sind hoch entwickelt. Wirbeltiere sind fast immer getrenntgeschlechtig. Je nach Fehlen oder Vorhandensein von Embryonalhüllen werden Anamnier (niedere Wirbeltiere; mit Rundmäulern...

Der Wirkungsgrad einer thermodynamischen Maschine \(\eta\) ist der Quotient aus der von ihr geleisteten Arbeit bzw. der abgegebenen Nutzenergie und der ihr zugeführten Energie. Der Wirkungsgrad liegt immer zwischen 0 und 1, er wird daher auch oft in Prozent angegeben. Bei realen Maschinen ist er immer kleiner als 100 %, da ein Teil der zugeführten Energie durch Reibung, Wärme- und andere Verluste verloren geht. Bei Wärmekraftmaschinen wird der thermische Wirkungsgrad \(\eta_\text{th}\) als Verhältnis von zugeführter Wärmemenge Q und geleisteter mechanischer Arbeit W definiert: \(\eta_\text...

Die Wirkungslinie ist eine gedachte Linie in Richtung der an einem Körper angreifenden Kraft , die durch deren Angriffspunkt geht. Anders ausgedrückt ist sie die Gerade , die sich durch Verlängerung des „Vektorpfeils“ der Kraft ergibt.

Wirtschaftswunder, Bezeichnung für den rasanten wirtschaftlichen Aufstieg der Bundesrepublik Deutschland nach dem Zweiten Weltkrieg. Die Entwicklung war gekennzeichnet durch hohes wirtschaftliches Wachstum, besonders in den 1950er-Jahren, durch steigenden materiellen Wohlstand trotz Zustroms von Flüchtlingen und Vertriebenen. Wichtige Rahmenbedingungen für das Wirtschaftswunder waren die Währungsreform 1948, die Kredithilfen aus dem Marshallplan , die Einführung der sozialen Marktwirtschaft , die Aufnahme in europäische Wirtschaftsorganisationen ( europäische Integration ) sowie die...

Wirtswechsel . Bei vielen Parasiten findet regelmäßig mit Erreichen eines bestimmten Entwicklungsstadiums ein Übergang von einem Wirtsorganismus zum anderen statt. Beim letzten Wirt ( Endwirt ) erreicht der Parasit seine Geschlechtsreife. Alle vorausgehenden Wirte, bei denen die Jugendstadien parasitieren, heißen Zwischenwirte . Typische Beispiele für Parasiten mit Wirtswechsel sind der Rinderbandwurm und die Leberegel .

Wittenberger Thesen, die am 31.10.1517 von Martin Luther veröffentlichten 95 Thesen, in denen er unter anderem den Ablasshandel der katholischen Kirche durch Ablassbriefe kritisierte. (angeblicher „Thesenanschlag“ an die Wittenberger Schlosskirche). Jeder wahrhaft reuige Mensch habe Anspruch auf vollkommenen Erlass der Schuld, auch ohne Ablassbrief. Luthers theologische Kernaussagen waren: Allein durch den Glauben gewinnt der Mensch das ewige Leben. Allein aus Gnade vergibt Gott den Menschen. Nur das Evangelium bestimmt, was geglaubt werden soll. Luther wollte eigentlich damit ein...

Wohlfahrtsausschuss, die provisorische Regierung in der Französischen Revolution zwischen Juli 1793 und Oktober 1795. Er regierte mit absoluter Vollmacht und bestand aus neun Mitgliedern des Nationalkonvents, die monatlich wechselten, geheim verhandelten und die Aufsicht über die Minister und die Armee hatten. Mit der Einsetzung des Wohlfahrtsausschusses als Organ des Nationalkonvents wurde auch die Gewaltenteilung aufgehoben. Die Menschenrechte waren außer Kraft gesetzt. Mit dem Mittel des Terrors sollte die Ruhe wiederhergestellt werden. Der Wohlfahrtsausschuss wurde von Maximilien de...

Geboren in Landsberg (Warthe) am 18.3.1929, gestorben in Berlin am 1.12.2011: Nach der Übersiedlung der Familie 1945 nach Mecklenburg studierte Wolf Germanistik in Leipzig und Jena. 1953-62 arbeitete sie als Redakteurin und Lektorin. Seither lebte sie als freie Schriftstellerin in Kleinmachnow bei Berlin. Suche nach Selbstverwirklichung Mit der Erzählung Der geteilte Himmel (1963), einer in Rückblenden und inneren Monologen erzählten Liebesgeschichte kurz vor dem Mauerbau, gelang Wolf der Durchbruch. Die Geschichte um die Studentin Rita, die sich gegen ihren Freund und für ein Leben in der...

Virginia Woolf , britische Schriftstellerin und Verlegerin, geb. am 25.01.1882 in London, gest. am 28.03.1941. Woolf nahm sich im Fluss Ouse, in der Nähe von Lewes (Sussex) das Leben. Werke (Auswahl) Woolf gilt als eine der Hauptvertreterinnen der literarischen Moderne. Einer ihrer wohl bekanntesten Romane ist Mrs Dalloway (1925) mit seiner innovativen Erzähltechnik des stream-of-consciousness , mit der sie das Geschehen über die Gedankenwelt, die Stimmungen und Eindrücke ihrer Figuren darstellte. Weitere Werke: The Voyage Out (1915), To the Lighthouse (1927), Orlando (1928), A Room of One's...

In der englischen Sprache gibt es verschiedene word classes (Wortarten), um sich mithilfe von Sätzen und Aussagen auszudrücken. Worte schmücken einen Satz nicht nur, sie verleihen auch einen Sinn und übermitteln bestimmte Informationen. Zu den word classes gehören substantives/nouns adjectives adverbs verbs pronouns prepositions conjunctions Hier ist eine Übersicht, die hilft zu verstehen, welche Wortart wo im Satz angewendet wird. Beispielsatz: She is sitting on an old bench and is laughing loudly. Substantive/noun: She is sitting on an old bench and is laughing loudly. Adjective: She is...

Definition Aus einem Grundbestand aus Wörtern und Wortteilen können nach bestimmten Regeln oder Mustern neue Wörter gebildet werden. Das nennt man word formation (Worbildung). Arten der Wortbildung Man unterscheidet verschiedene Arten der Wortbildung. compound words (Zusammensetzungen) conversion (Konversion) prefixes (Hinzufügen einer Vorsilbe) suffixes (Hinzufügen einer Nachsilbe) household to help (verb) – help (noun) disappear organization open night wet (adjective) – to wet (verb) impossible typist well-dressed to wish (verb) – a wish (noun) non-smoking washable

Wormser Edikt, auf dem Reichstag in Worms 1521 von Kaiser und Reichsfürsten beschlossenes Verbot der Lehren Luthers. Martin Luther wurde zudem mit der Reichsacht belegt. 1526 wurde auf dem ersten Reichstag in Speyer das Wormser Edikt aufgehoben. 1529 wurde auf dem zweiten Reichstag in Speyer das Wormser Edikt wieder eingeführt. Es blieb zunächst bei der Aberkennung der Reformation und der landesfürstlichen Religionshoheit. Allerdings konnte das Wormser Edikt die Reformation nicht aufhalten. Religionskriege und Gegenreformation führten dann zum Augsburger Religionsfrieden und dem vorläufigen...

Definition • Das „Wort“ als Textwort ist der größte Abschnitt eines Satzes , der nicht durch Umordnung seiner Bestandteile im Satz oder zusätzliche Einfügung von umordnungsfähigen Satzbestandteilen zertrennbar ist. Hierbei sind nur solche Umordnungen gemeint, die die Satzbedeutung nicht verändern. • Das „Wort“ als Sprachwort (= als Einheit des Sprachsystems) entspricht entweder direkt einem Textwort oder es tritt in mehreren Wortformen als Textwort auf. Alle Wortformen eines Sprachworts sind dadurch gekennzeichnet, dass sie einen gemeinsamen Anteil haben, der die (satzunabhängige) Bedeutung...

Wortarten gliedern die Wörter unserer Sprache nach bestim­mten Gesichtspunkten und unterteilen sie in Klassen. Im Satz und im Text übernehmen sie unterschiedliche Aufgaben. Einige Wortarten können dabei ihre Form verändern, sie können gebeugt oder, um es mit einem anderen Begriff auszudrücken, flektiert werden. Andere Wort­arten können ihre Form nicht verändern, entsprechend be­zeichnet man sie als nicht flektierbar. Flektierbare Wortarten sind: Verben Substantive Adjektive Artikel Pronomen Numeralia Nicht flektierbare Wortarten sind: Adverbien Präpositionen Konjunktionen Interjektionen...

Definition Unter „Wortarten“ versteht man die Hauptgruppen, in die die Wörter einer Sprache je nach ihren grammatischen Eigenschaften eingeteilt werden. Unterscheidungskriterien Im Lateinischen und Deutschen wird jedes Wort nach mehreren Kriterien einer Wortart zugeordnet. Das erste Kriterium lautet: • Welche Flexionsformen (= Deklinations- oder Konjugationsformen) kann das Wort bilden? Dadurch werden die Wörter in drei Hauptgruppen einsortiert: (1) Nomen = deklinierbare Wörter (2) Verben = konjugierbare Wörter (3) Partikeln = unveränderliche Wörter Die Hauptgruppen bestehen wiederum aus...

Zur Bildung neuer Wörter gebrauchen unsere Sprachen hauptsächlich folgende Methoden: • Komposition (= Zusammensetzung) • Derivation (= Ableitung) • Konversion (= Umwandlung)

Die Wortfamilie ist ein wichtiges Ordnungsprinzip des Wortschatzes. Eine Wortfamilie besteht aus allen Wörtern, die im Laufe der Zeit zu einem Stammwort gebildet worden sind. Sprachlich verwandt sind alle Wörter mit dem gleichen Wortstamm , zu einer Wortfamilie gehören sowohl Ableitungen wie Zusammensetzungen. Besonders bei der Rechtschreibung ist es wichtig und sehr hilfreich, Wortfamilien zu bilden, da man mit verwandten Wörtern oft die richtige Schreibweise ableiten kann. Beispiel: Fährte von Fahrt

Wörter, die eine ähnliche Bedeutung haben, nennt man Wortfeld . Beispiel: sagen — mitteilen, erzählen, behaupten, erläutern, erklären, darauf hinweisen, sich äußern, feststellen

Jedes Wort hat einen Hauptbestandteil , der im Wesentlichen nicht verändert wird: den Wortstamm . Dieser Wortstamm trägt die eigentliche Bedeutung eines Worts. Beispiele: schreib - bei schreiben, spring - bei springen, les - bei lesen, schlaf - bei schlafen, freund - bei freundlich

Aus einem Grundbestand aus Wörtern und Wortteilen können nach bestimmten Regeln oder Mustern neue Wörter gebildet werden. Man unterscheidet zwei Hauptarten von Wortbildung: Wortzusammensetzungen (Komposition) und Ableitungen (Derivation). Wortzusammensetzungen sind Zusammensetzungen aus einem oder mehreren einfachen Wörtern . Eine solche Zusammensetzung nennt man Kompositum . Es gibt unterschiedliche Arten der Zusammensetzung. Der letzte Bestandteil heißt Grundwort , den ersten nennt man Bestimmungswort , weil er das Grundwort bestimmt. Bestimmungswörter können Adjektive, Verben und...

Der „Wunschsatz“ ist einer der fünf Satztypen .

Der Wurf ist die Bewegung eines Körpers durch ein Schwerefeld (üblicherweise das der Erde), die mit einer Anfangsgeschwindigkeit \(\vec v_0\) beginnt. Bei Vernachlässigung des Luftwiderstands (s. u.) überlagern sich beim Wurf zwei Bewegungen: eine gleichförmig-geradlinige Bewegung in Richtung von \(\vec v_0\) ein freier Fall , d. h. eine beschleunigte Bewegung nach unten, wobei die Beschleunigung gleich der Fallbeschleunigung \(\vec g\) ist. Je nach Richtung von \(\vec v_0\) kann man drei Fälle unterscheiden (wählt man die x-Achse in Richtung von \(\vec v_0\) und die y-Achse parallel zu \...

Ein Würfel ist ein regelmäßiges Polyeder , dessen sechs Seitenflächen kongruente Quadrate sind. Er besitzt (wie das Quadrat im Zweidimensionalen) besonders viele Symmetrien und zählt zu den platonischen Körpern (in diesem Zusammenhang sagt man auch Hexaeder zum Würfel). Der Würfel ist ein Spezialfall des Quaders (und daher auch ein Prisma ): bei dem alle Kanten die gleiche Länge a haben. Wenn man die Seitenmitten eines Würfels verbindet, erhält man ein Oktaeder (und umgekehrt). Die Flächendiagonalen der Seitenflächen haben die Länge \(\sqrt 2 \cdot a\) , die Raumdiagonale (Abbildung) hat die...

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist das Würfeln eines der beliebtesten Beispiele für ein Zufallsexperiment . Normalerweise wird ein geometrischer Würfel (ein platonischer Körper mit sechs kongruenten, entweder aufeinander senkrecht oder parallel stehenden Quadraten als Seitenflächen) geworfen. Jede Seite ist mit einer Zahl zwischen 1 und 6 bzw. mit 1, 2, …, 6 „Augen“ markiert. Die nach dem Wurf oben liegende Fläche gibt das Ergebnis des Zufallsexperiments an. Der Ergebnisraum ist also die Menge {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Da bei einem fairen Würfel alle Seiten gleich wahrscheinlich drankommen, ist...

Das Wurzelziehen oder Radizieren ist die Umkehroperation des Potenzierens , sofern man sich auf nichtnegative reelle Zahlen beschränkt: \(x = a^2 \ \ \Rightarrow \ \ \sqrt x = a \ \ (x \in \mathbb R_0^+)\) bzw. \(x = a^n \ \ \Rightarrow \ \ \sqrt[n] x = a \ \ (x \in \mathbb R_0^+)\) \(\displaystyle \left( \sqrt[n] x \right)^n = \sqrt[n]{x^n} = x \ \ (x \in \mathbb R_0^+)\) Die Zahl oder der Term „unter der Wurzel“ heißt Radikand , die Zahl n Wurzelexponent . Es gilt weiterhin: \(\sqrt{x^2} = |x|\) (eine Wurzel ist nie negativ) Achtung: Für negative Radikanden sind die obigen Terme nicht...

Wurzelfunktionen kann man auf zwei äuqivalente Weisen definieren: Sie sind Potenzfunktionen mit einem Stammbruch im Exponenten, haben also die Form \(f\!: x \mapsto f(x) = x^{1/n} = \sqrt[n]{x} \ \ (x \in \mathbb R_0^+, \ n \in \mathbb N)\) . Sie sind die Umkehrfunktionen der Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten, sofern man diese auf den Definitionsbereich auf \(D_f = \mathbb R_0^+\) einschränkt: \(x = f(y) = y^n \ \ \Rightarrow \ \ y = g(x) = x^{1/n} = \sqrt[n]{x} \ \ (x \in \mathbb R_0^+, \ n \in \mathbb N) \) bzw. g = f –1 und f = g –1 Außerdem kann man natürlich auch eine...

Gleichungen , bei denen die Variable unter einer Wurzel auftritt, heißen Wurzelgleichungen . Achtung: Bei Wurzelgleichungen muss die Definitionsmenge D so gewählt werden, dass unter der Wurzel keine negativen Werte auftreten können! Beispiele: \(\sqrt{2x+1}=x+1; \ \ D = \{x\in \mathbb R | x \ge -0,5 \}\) \(1+\sqrt{5x-1}=x+3,5; \ \ D = \{x\in \mathbb R | x \ge 0,2 \}\) \(\sqrt{x^2-6}=\sqrt{2x+2} ; \ \ D = \{x\in \mathbb R | x \ge \sqrt 6 \approx 2,45 \}\) Beim Lösen wird die Gleichung so umgestellt, dass der Wurzelterm auf einer Seite allein steht. Dann werden beide Seiten der Gleichung...

Wurzeln : die Teile der Sprosspflanzen , die meist in die Erde wachsen. Sie befestigen die Pflanze im Boden und entnehmen dort Wasser und Mineralsalze und leiten sie in den Spross. Außerdem können sie wie die Sprossachse und die Blätter Reservestoffe speichern . Der morphologische Unterschied zwischen Wurzel und Spross besteht darin, dass Wurzeln keine Blatt- und Knospenanlagen ausbilden. Der anatomische Unterschied beruht auf der zentralen Anordnung der Leitbündel in den Wurzeln. An der noch wachsenden Wurzel können schon äußerlich drei Zonen unterschieden werden: der an der Wurzelspitze...